《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. (高频导向)已知向量 $ e_1,e_2 $ 不共线,且 $ (2e_1+\lambda e_2)//(3e_1 - 2e_2) $,则实数 $ \lambda = $ (D)

A.3
B.-3
C.$ \frac{4}{3} $
D.$ -\frac{4}{3} $

答案： 1. D 由题意得存在 $t \in \mathbf{R}$，使得 $2\boldsymbol{e}_1 + \lambda\boldsymbol{e}_2 = t(3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2) = 3t\boldsymbol{e}_1 - 2t\boldsymbol{e}_2$，则 $\begin{cases}2 = 3t,\\\lambda = -2t,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}t = \frac{2}{3},\\\lambda = -\frac{4}{3}.\end{cases}$

2. 设 $ a,b $ 为非零向量,则“$ \frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|} $”是“$ a// b $”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2. A $\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|},\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$ 表示 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 方向上的单位向量. 若 $\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向，所以 $\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$，即 $\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} \Rightarrow \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$. 若 $\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$，当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向时，$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$；当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 反向时，$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = -\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$. 所以是充分不必要条件.

3. 已知 $ O,A,B,C $ 为同一平面内不同的四个点,若 $ 2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=0 $,则向量 $ \overrightarrow{OC}= $ (C)

A.$ \frac{2}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} $
B.$ -\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB} $
C.$ 2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} $
D.$ -\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB} $

答案： 3. C 由 $2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = 0$，得 $2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = 0$，则 $\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$.

4. 已知非零向量 $ a,b $,若 $ \overrightarrow{AB}=a + 2b,\overrightarrow{BC}=-5a + 6b,\overrightarrow{CD}=7a - 2b $,则共线的三点是 (A)

A.$ A,B,D $
B.$ A,B,C $
C.$ B,C,D $
D.$ A,C,D $

答案： 4. A 因为 $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) + (-5\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b}) + (7\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) = 3\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b} = 3\overrightarrow{AB}$，所以 $A,B,D$ 三点共线；因为 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC} = -5\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD} = 7\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$，所以 $A,B,C$ 不共线且 $B$，$C,D$ 不共线；因为 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) + (-5\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b}) = -4\boldsymbol{a} + 8\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD} = 3\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b}$，所以 $A,C,D$ 三点不共线.

5. (教材变式)如图,在 $ \triangle OCB $ 中, $ A $ 是边 $ BC $ 的中点, $ D $ 是边 $ OB $ 上靠近点 $ O $ 的三等分点.设 $ \overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b $,则 $ \overrightarrow{DC}= $ (C)


A.$ 2a-\frac{5}{3}b $
B.$ 2a+\frac{5}{3}b $
C.$ 2a-\frac{4}{3}b $
D.$ -2a+\frac{4}{3}b $

答案： 5. C 因为 $A$ 是边 $BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}$，则 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$. 又 $D$ 是边 $OB$ 上靠近点 $O$ 的三等分点，则 $\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，所以 $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + (2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 2\overrightarrow{OA} - \frac{4}{3}\overrightarrow{OB} = 2\boldsymbol{a} - \frac{4}{3}\boldsymbol{b}$.
教材链接 人教A版必修二习题6.3第1题改编
方法总结 用已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关特点，将所求向量反复分解，直到可以完全用已知向量表示，其实质是反复进行向量的线性运算.

6. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ |\overrightarrow{AB}|=2,\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $, $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 所在平面内一点, $ 4\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=0 $,则 $ |\overrightarrow{OD}|= $ (A)

A.$ \frac{8}{9} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{1}{9} $
D.$ \frac{5}{6} $

答案： 6. A 由 $4\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} = 0$，可得 $\overrightarrow{OC} = -\frac{1}{3} · (4\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB})$. 因为 $\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，所以 $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB})$，所以 $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = -\frac{1}{9}(4\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}) + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \frac{4}{9}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \frac{4}{9}\overrightarrow{AB}$. 又因为 $|\overrightarrow{AB}| = 2$，所以 $|\overrightarrow{OD}| = \frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}| = \frac{8}{9}$.

7. 设 $ a $ 是非零向量, $ \lambda $ 是非零实数,则以下结论正确的有 (CD)

A.$ a $ 与 $ -\lambda a $ 方向相反
B.$ |-\lambda a|\geqslant|a| $
C.$ a $ 与 $ \lambda^2 a $ 方向相同
D.$ |-2\lambda a|=2|\lambda||a| $

答案： 7. CD 当 $\lambda ＜ 0$ 时，$\boldsymbol{a}$ 与 $-\lambda\boldsymbol{a}$ 方向相同，A错误；当 $|\lambda| ＜ 1$ 时，$|-\lambda\boldsymbol{a}| = |\lambda||\boldsymbol{a}| ＜ |\boldsymbol{a}|$，B错误；由 $\lambda^2 ＞ 0$，故 $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda^2\boldsymbol{a}$ 方向相同，C正确；$|-2\lambda\boldsymbol{a}| = |-2\lambda||\boldsymbol{a}| = 2|\lambda||\boldsymbol{a}|$，D正确.

8. 已知 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 所在平面内一点, $ D $ 为边 $ BC $ 的中点,且 $ 2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0 $,则下列结论正确的是 (ABD)

A.$ \overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} $
B.$ \overrightarrow{OB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} $
C.$ \overrightarrow{OB}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} $
D.若点 $ P $ 满足 $ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC}(\lambda＞0) $,则直线 $ AP $ 经过 $ \triangle ABC $ 的重心

答案：
8. ABD 连接 $OD$，因为 $D$ 为边 $BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OD}$.

又因为 $2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 0$，所以 $2\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OD} = 0$，所以 $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}$，即 $O$ 是 $AD$ 的中点，从而 $\overrightarrow{OA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，故 A正确. $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，故 B正确，C错误. 由 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{AB} + \lambda\overrightarrow{AC}$，得 $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \lambda(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，即 $\overrightarrow{AP} = 2\lambda\overrightarrow{AD}$，则直线 $AP$ 是 $\triangle ABC$ 的中线 $AD$ 所在直线，所以直线 $AP$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心，故 D正确.