《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

12. (高频导向)已知一个正四棱锥的底面边长为 4，侧面积为 $10\sqrt{3}$，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为 2 的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的体积为$\frac{28\sqrt{2}}{3}$.

答案：
12. $\frac{28\sqrt{2}}{3}$ 解法1：如图，设正四棱锥底面中心为$O$，则原正四棱锥的高为$SO$.取$AD$的中点为$E$，连接$OE$，$SE$，则侧面等腰三角形的高为$SE$，正四棱锥的侧面积为$4 × \frac{1}{2} × 4 × SE = 16\sqrt{3}$，得$SE = 2\sqrt{3}$，所以$SO = \sqrt{SE^2 - OE^2} = \sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{2}$.因为正四棱锥的底面边长为$4$，截面正方形的边长为$2$，则截面经过原正四棱锥各侧棱的中点，所以正四棱台的高为$\frac{SO}{2} = \sqrt{2}$，则四棱台的体积$V = \frac{1}{3} × (2^2 + \sqrt{2^2 × 4^2 + 4^2}) × \sqrt{2} = \frac{28\sqrt{2}}{3}$.

解法2：同解法1得$SO = 2\sqrt{2}$，易得$\triangle SOE \sim \triangle SO_1E$，则$\frac{SO_1}{SO} = \frac{OE_1}{OE} = \frac{1}{2}$，所以$SO_1 = \sqrt{2}$，则四棱台体积$V = V_{四棱锥S - ABCD} - V_{四棱锥S - A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{3} (AB^2 · SO - A_1B_1^2 · SO_1) = \frac{28\sqrt{2}}{3}$.
方法总结：在研究台体问题时，常采用割补法，将台体补成锥体，由锥体的几何性质以及锥体的体积公式来解决台体体积等问题.

13. 为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上面部分是正四棱锥 $P - A_1B_1C_1D_1$，下面部分是正四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$，正四棱柱的高 $O_1O$ 是正四棱锥的高 $PO_1$ 的 $\frac{5}{2}$.
（1）若 $AB = 6$ dm，$OO_1 = 5$ dm，求玻璃罩的容积（玻璃厚度不计）.
（2）若 $PA_1 = 4$ dm，当 $PO_1$ 为多少时，下面部分的正四棱柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？

答案：
13. 解：
(1)因为$OO_1 = 5dm$，所以$PO_1 = 2dm$，所以玻璃罩的容积$V = \frac{1}{3} × 6^2 × 2 + 6^2 × 5 = 24 + 180 = 204(dm^3) = 204(L)$.
(2)如图，连接$A_1O_1$，设$PO_1 = xdm(0 ＜ x ＜ 4)$，则$O_1O = \frac{5}{2}xdm$，$A_1O_1 = \sqrt{16 - x^2}dm$，$A_1B_1 = \sqrt{2} \sqrt{16 - x^2}dm$，所以正四棱柱的侧面积$S = 4 · \frac{5}{2}x · \sqrt{2} \sqrt{16 - x^2} = 10\sqrt{2} · \sqrt{(16 - x^2)x^2}$.因为$S \leq 10\sqrt{2} × \frac{x^2 + 16 - x^2}{2} = 80\sqrt{2}$，当且仅当$x = \sqrt{16 - x^2}$，即$x = 2\sqrt{2}$时取等号，所以当$PO_1 = 2\sqrt{2}dm$时，正四棱柱的侧面积最大，最大为$80\sqrt{2}dm^2$.

14. [多选题]中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为 24 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为 1，则下列说法正确的有(ABD)

A.该半正多面体有 12 个顶点
B.该半正多面体有 14 个面
C.该半正多面体表面积为 3
D.该半正多面体体积为 $\frac{5}{6}$

答案： 14. ABD 该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，有$12$个顶点，$14$个面($6$个正方形，$8$个正三角形)，故A，B正确；半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为$1$，可得该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点，它即正方体去掉$8$个三棱锥所剩部分，所以该半正多面体的棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故半正多面体的面积为$6 × \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + 8 × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} × \sin 60^{\circ} = 3 + \sqrt{3}$，故C错误；半正多面体的体积为$1 - 8 × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$，故D正确.