《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60°,B=45°,b=2√{2},则 a 的值为 (C)

A.√{3}
B.2
C.2√{3}
D.4

答案： 1. C 由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$得$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{2\sqrt{2}×\sin60°}{\sin45°}=2\sqrt{3}$.
方法总结 已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.

2. (易错易混 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A=45°,a=3√{2},b=3,则 B 的大小为 (C)

A.30°或 150°
B.60°或 120°
C.30°
D.60°

答案： 2. C 由正弦定理得$\frac{3}{\sin B}=\frac{3\sqrt{2}}{\sin45°}$，解得$\sin B=\frac{1}{2}$.又B为三角形内角，所以$B=30°$或$150°$，因为$a＞b$，所以$A＞B$，即$B=30°$.
易错警示 注意应用三角形中大边对大角进行范围验证.

3. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,若 A=π/3,a=√{3},则 (a - 2b)/(sin A - 2sin B)=(D)

A.1/2
B.√{3}/2
C.√{3}
D.2

答案： 3. D 由正弦定理得$2R=\frac{a}{\sin A}=2$，所以$a=2R\sin A=2\sin A$，$b=2R\sin B=2\sin B$，所以$\frac{a - 2b}{\sin A - 2\sin B}=\frac{2\sin A - 4\sin B}{\sin A - 2\sin B}=2$.

4. 已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 cos(A - B) - cos(A + B)=3/4,且 ab=3/2,则△ABC 的外接圆的面积为 (B)

A.π/2
B.π
C.2π
D.4π

答案： 4. B 由$\cos(A - B)-\cos(A + B)=\frac{3}{4}$，得$\cos A\cos B+\sin A\sin B-\cos A\cos B+\sin A\sin B=\frac{3}{4}$，所以$\sin A\sin B=\frac{3}{8}$.又因为$ab=\frac{3}{2}$，结合正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$（其中R为$\triangle ABC$的外接圆的半径），所以$ab = 4R^2\sin A\sin B=\frac{3}{2}R^2=\frac{3}{2}$，解得$R^2 = 1$，则$\triangle ABC$的外接圆的面积为$\pi R^2=\pi$.
方法总结 正弦定理是求三角形外接圆半径的有效途径.

5. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=2B,角 C 的平分线交对边 AB 于点 D,且 CD 将△ABC 的面积分成 3:4 的两部分,则 cos B= (C)

A.1/3
B.1/2
C.2/3
D.3/4

答案： 5. C 因为CD是角C的平分线，所以$\angle ACD=\angle BCD$.又由$A = 2B＞B$，故$CB＞CA$，所以$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}CB· CD\sin\angle BCD}{\frac{1}{2}CA· CD\sin\angle ACD}=\frac{CB}{CA}=\frac{4}{3}$.由正弦定理，得$\frac{CB}{CA}=\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{4}{3}$，又$A = 2B$，则$\frac{\sin2B}{\sin B}=\frac{2\sin B\cos B}{\sin B}=2\cos B=\frac{4}{3}$，所以$\cos B=\frac{2}{3}$.

6. 在△ABC 中,D 是边 BC 上的点,DC=5,AB=3√{6}/2,∠ABC=45°,∠ADB=60°,则 AC= (B)

A.5
B.7
C.9
D.11

答案：
6. B 如图，在$\triangle ABD$中，由正弦定理得$\frac{AB}{\sin\angle ADB}=\frac{AD}{\sin\angle ABD}$，即$AD=\frac{AB·\sin\angle ABD}{\sin\angle ADB}=\frac{\frac{3\sqrt{6}}{2}×\sin45°}{\sin60°}=3$.由$\angle ADB = 60°$，可得$\angle ADC = 120°$，且$DC = 5$，在$\triangle ACD$中，由余弦定理，得$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD· CD·\cos120°=9 + 25 - 2×3×5×(-\frac{1}{2}) = 49$，即$AC = 7$.

方法总结 先解已知条件多的三角形，再通过公共元素关联其他三角形.

7. 在△ABC 中,角 A,B 的对边分别为 a,b,根据下列条件解三角形,其中有解的是 (ACD)

A.a=50,b=30,A=60°
B.a=30,b=65,A=30°
C.a=30,b=60,A=30°
D.a=30,b=50,A=30°

答案： 7. ACD 解法1 A选项，因为$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{3\sqrt{3}}{10}＜\sin A$，所以三角形恰有一个解；B选项，因为$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{65}{60}＞1$，所以三角形无解；C选项，因为$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{30}{30}=1$，所以三角形恰有一个解；D选项，因为$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5}{6}＞\sin A$，所以三角形有两个解.
解法2 A选项，因为$b\sin A = 15\sqrt{3}＜a$，又$a＞b$，所以三角形恰有一个解；B选项，因为$b\sin A=\frac{65}{2}＞a$，所以三角形无解；C选项，$b\sin A = 30 = a$，所以三角形恰有一个解；D选项，$b\sin A = 25＜a$，又$a＜b$，所以三角形有两个解.

8. 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则下列说法正确的是 (AC)

A.若 A＞B,则 sin A＞sin B
B.若 sin²A + sin²B＞sin²C,则△ABC 是锐角三角形
C.若 a=2,b=2√{2},且△ABC 有解,则 0＜A≤π/4
D.若 B=45°,b=7,且△ABC 恰有一解,则 a 的取值范围是 (0,7]

答案： 8. AC 对于A，由$A＞B$，得$a＞b$，由正弦定理得$2R\sin A＞2R\sin B$，即$\sin A＞\sin B$，A正确；对于B，由正弦定理结合$\sin^2A+\sin^2B＞\sin^2C$，得$a^2 + b^2＞c^2$，则$\cos C=\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}＞0$，所以$C＜\frac{\pi}{2}$，但无法判断A，B的大小，B错误；对于C，$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\sqrt{2}\sin A\leq1$，所以$\sin A\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$.又因为$b＞a$，则$B＞A$，所以A为锐角，所以$0＜A\leq\frac{\pi}{4}$，C正确；对于D，要使$\triangle ABC$恰有一解，则$b\geq a$或$b = a\sin B$，所以$a\leq7$或$7=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，解得$0＜a\leq7$或$a = 7\sqrt{2}$，D错误.