《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

14. 在$\triangle ABC$中,内角$A$,$B$,$C$所对的边分别是$a$,$b$,$c$,且$b\cos A + \sqrt{3}b\sin A - c - a = 0$.
(1)求角$B$的大小;
(2)若$b = 2\sqrt{3}$,求$\triangle ABC$面积的最大值;
(3)若$\triangle ABC$为锐角三角形,且$b = 2\sqrt{3}$,求$\triangle ABC$的周长的取值范围.

答案： 14. 解：
(1)在$\triangle ABC$中，由$b\cos A + \sqrt{3}b\sin A - c - a = 0$及正弦定理，得$\sin B\cos A + \sqrt{3}\sin B\sin A - \sin C - \sin A = 0$。又$\sin C = \sin[\pi - (A + B)] = \sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$，代入上式得$\sqrt{3}\sin B\sin A - \sin A\cos B - \sin A = 0$。又$\sin A ＞ 0$，所以$\sqrt{3}\sin B - \cos B = 1$，所以$2\sin(B - \frac{\pi}{6}) = 1$，即$\sin(B - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$。又$B - \frac{\pi}{6} \in ( - \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})$，所以$B - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$，即$B = \frac{\pi}{3}$。
(2)由余弦定理$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac} = \frac{1}{2}$，代入$b = 2\sqrt{3}$得$12 + ac = a^{2} + c^{2} \geqslant 2ac$，即$ac \leqslant 12$，当且仅当$a = c = 2\sqrt{3}$时等号成立。所以$\triangle ABC$的面积为$S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{\sqrt{3}}{4}ac \leqslant 3\sqrt{3}$，故$\triangle ABC$面积的最大值为$3\sqrt{3}$。
(3)由正弦定理可知$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$，所以$a = 4\sin A$，$c = 4\sin C = 4\sin(\frac{2\pi}{3} - A)$，所以$a + c = 4\sin A + 4\sin(\frac{2\pi}{3} - A) = 4\sqrt{3}(\frac{1}{2}\cos A + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin A) = 4\sqrt{3}\sin(A + \frac{\pi}{6})$。又$\triangle ABC$为锐角三角形，所以$\begin{cases}0 ＜ A ＜ \frac{\pi}{2} \\0 ＜ \frac{2\pi}{3} - A ＜ \frac{\pi}{2}\end{cases}$，解得$\frac{\pi}{6} ＜ A ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$\frac{\pi}{3} ＜ A + \frac{\pi}{6} ＜ \frac{2\pi}{3}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2} ＜ \sin(A + \frac{\pi}{6}) \leqslant 1$，则$6 ＜ 4\sqrt{3}\sin(A + \frac{\pi}{6}) \leqslant 4\sqrt{3}$，即$6 ＜ a + c \leqslant 4\sqrt{3}$。又$b = 2\sqrt{3}$，所以$6 + 2\sqrt{3} ＜ a + b + c \leqslant 6\sqrt{3}$，即$\triangle ABC$的周长的取值范围为$(6 + 2\sqrt{3},6\sqrt{3}]$。易错警示 若三角形为锐角三角形，则三个角都为锐角，本题的易错点是只保证$A$为锐角，而忽略$C$也为锐角。