《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

11. 已知神州十五号返回舱的着陆地点在航天搜救队 $A$ 组北偏东 $60^{\circ}$ 的方向 $60$ 千米处,航天搜救队 $B$ 组位于 $A$ 组南偏东 $60^{\circ}$ 的方向 $80$ 千米处,则航天搜救队 $B$ 组距着陆点$20\sqrt{13}$千米.

答案：
11. $20\sqrt{13}$ 记着陆点为点$C$，如图，$AB = 80$千米，$AC = 60$千米，$\alpha = 60^{\circ}$，$\beta = 60^{\circ}$，所以$\angle BAC = 60^{\circ}$.在$\triangle ABC$中，由余弦定理得$\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB· AC}=\frac{1}{2}$，解得$BC = 20\sqrt{13}$千米.

12. 释迦文佛塔,又称广化寺塔,是一座仿木楼阁式石塔.如图,某同学为测量广化寺塔的高度 $CD$,在广化寺塔的正西方向找到一座建筑物 $AB$,高约为 $15\ m$,在地面上点 $E$ 处($A,C,E$ 三点共线)测得建筑物顶部 $B$,广化寺塔顶部 $D$ 的仰角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$,在 $B$ 处测得塔顶部 $D$ 的仰角为 $15^{\circ}$,则广化寺塔的高度约为30$m$.

答案：
12. 30 解法1 在$Rt\triangle ABE$中，$\angle AEB = 30^{\circ}$，$AB = 15$，则$\tan\angle AEB=\frac{AB}{AE}$，即$\tan30^{\circ}=\frac{15}{AE}$，得$AE = 15\sqrt{3}$.设$CD = x$，在$Rt\triangle DEC$中，$\angle DEC = 45^{\circ}$，则$EC = CD = x$.如图，过点$B$作$BF\perp CD$于点$F$，则四边形$ABFC$是矩形，所以$BF = AC = AE + EC = 15\sqrt{3}+x$，$CF = AB = 15$，则$DF = CD - CF = x - 15$.在$Rt\triangle BDF$中，$\angle DBF = 15^{\circ}$，则$\tan15^{\circ}=\frac{DF}{BF}=\frac{x - 15}{15\sqrt{3}+x}$.又$\tan15^{\circ}=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})=\frac{\tan45^{\circ}-\tan30^{\circ}}{1+\tan45^{\circ}\tan30^{\circ}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1×\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$，所以$2-\sqrt{3}=\frac{x - 15}{15\sqrt{3}+x}$，解得$x=\frac{30\sqrt{3}-30}{\sqrt{3}-1}=\frac{30(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}=30$.所以广化寺塔的高度约为$30 m$.

解法2 在$Rt\triangle ABE$中，由$\angle AEB = 30^{\circ}$，$AB = 15$，得$BE=\frac{AB}{\sin\angle AEB}=\frac{15}{\frac{1}{2}} = 30$.在$\triangle BDE$中，$\angle DBE = 15^{\circ}+30^{\circ}=45^{\circ}$，$\angle DEB = 180^{\circ}-(45^{\circ}+30^{\circ}) = 105^{\circ}$，则$\angle BDE = 180^{\circ}-(45^{\circ}+105^{\circ}) = 30^{\circ}$.在$\triangle BDE$中，由正弦定理得$\frac{DE}{\sin\angle DBE}=\frac{BE}{\sin\angle BDE}$，则$DE=\frac{BE·\sin\angle DBE}{\sin\angle BDE}=\frac{30×\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=30\sqrt{2}$.在$Rt\triangle DCE$中，$DC = DE·\sin\angle DEC = 30\sqrt{2}×\sin45^{\circ}=30(m)$.

13. 如图,某运动员从 $A$ 市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时 $15\ km$ 的速度向东进行长跑训练,长跑开始时,在 $A$ 市南偏东方向距 $A$ 市 $75\ km$ 的 $B$ 处有一艘小艇,小艇与海岸距离为 $45\ km$,若小艇与运动员同时出发,要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员?
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与 $AB$ 的夹角.

答案：
13. 解：
(1)如图，设小艇以每小时$v km$的速度从$B$处出发，沿$BD$方向行驶，$t$小时后与运动员在$D$处相遇.

在$\triangle ABD$中，$AB = 75$，$AD = 15t$，$BC = 45$，故$\sin\angle BAD=\frac{45}{75}=\frac{3}{5}$，$\cos\angle BAD=\frac{4}{5}$，由余弦定理得$BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}-2AB· AD\cos\angle BAD$，则$v^{2}t^{2}=(15t)^{2}+75^{2}-2×75×15t×\frac{4}{5}$，整理得$v^{2}=5625(\frac{1}{t^{2}}-\frac{8}{25t}+\frac{4}{25})+81=5625(\frac{1}{t}-\frac{4}{25})^{2}+81$，当$\frac{1}{t}=\frac{4}{25}$，即$t=\frac{25}{4}$时，$v_{\min}^{2}=81$，故$v_{\min}=9$，即小艇至少以每小时$9 km$的速度行驶才能追上运动员.
(2)当小艇以每小时$9 km$的速度从$B$处出发，经过时间$t=\frac{25}{4}$小时追上运动员，故$BD = 9×\frac{25}{4}=56.25$，$AD = 15×\frac{25}{4}=93.75$，又$\sin\angle BAD=\frac{3}{5}$，由正弦定理得$\frac{BD}{\sin\angle BAD}=\frac{AD}{\sin\angle ABD}$，解得$\sin\angle ABD = 1$，故$\angle ABD = 90^{\circ}$，即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与$AB$的夹角为$90^{\circ}$.