《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 教材变式已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})=0$,则$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量为
(B)

A.$-2\boldsymbol{a}$
B.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$
C.$-\sqrt{2}\boldsymbol{a}$
D.$2\sqrt{2}\boldsymbol{a}$

答案：
1.B 设向量a,b的夹角为θ,由a·(a−2b)=a²−2a·b=0,

可得a·b=½a²,所以b在a上的投影向量为|b|cosθ·a/|a|=(a·b/|a|)·(a/|a|)=(a·b/|a|²)·a=½a.
教材链接 人教A版必修二习题6.2.4练习第3题改编

2.若单位向量$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$的夹角为$\frac{\pi}{3}$,向量$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+\lambda\boldsymbol{e}_2(\lambda\in\mathbf{R})$,且$|\boldsymbol{a}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$,则$\lambda=$
(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$

答案： 2.B 由题意e₁·e₂=1×1×cos(π/3)=½, |a|²=(e₁+λe₂)²=e₁²+2λe₁·e₂+λ²e₂²=1+2λ×½+λ²=¾,化简得λ²+λ+¼=0,解得λ=−½.

3.设$m,n$为非零向量,则“存在负数$\lambda$,使得$m=\lambda n$”是“$m· n＜0$”的
(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.A 若∃λ＜0,使得m=λn,则两向量m,n反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos180°=−|m||n|＜0;若m·n＜0,则两向量的夹角为(90°,180°]即可，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m=λn.所以是充分不必要条件.

4.在平行四边形$ABCD$中,$AD=2$,$\angle BAD=60°$,$E$为$AD$的中点.若$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BE}=-3$,则$AB$的长为
(C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 4.C 设AB=x,由AC·BE=−3,可得(AB+AD)·(BA+½AD)=(AB+AD)·(½AD−AB)=½AD²−½AB·AD−AB²=2−½|AB|×2×cos60°−AB²=2−½x−x²=−3,即2x²+x−10=0,解得x=2或x=−5/2(舍去).

5.已知平面向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{6}$,且$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3}$,$|\boldsymbol{b}|=2$,在$\triangle ABC$中,$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AC}=2\boldsymbol{a}-6\boldsymbol{b}$,$D$为$BC$的中点,则$|\overrightarrow{AD}|=$
(A)

A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： 5.A 因为AD=½(AB+AC)=½(2a+2b+2a−6b)=2a−2b,所以|AD|²=4(a−b)²=4(a²−2a·b+b²)=4(3−2×2×√3×cos(π/6)+4)=4,即|AD|=2.

6.在$\triangle ABC$中,$AC=1$,$BC=2$,$\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}=1$,$\overrightarrow{CD}=2t\overrightarrow{CA}+(1-t)\overrightarrow{CB}(t\in\mathbf{R})$,则$|\overrightarrow{CD}|$的最小值为
(B)

A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$

答案： 6.B 因为CD=2tCA+(1−t)CB,所以|CD|²=CD²=[2tCA+(1−t)CB]²=4t²CA²+4t(1−t)CA·CB+(1−t)²CB².又因为AC=1,BC=2,CA·CB=1,所以|CD|²=4t²+4t(1−t)+4(1−t)²=4(t²−t+1)=4(t−½)²+3.当t=½时,|CD|²min=3,即|CD|min=√3.

7.已知非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$,且$|\boldsymbol{a}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=2$,则下列结论正确的是
(ACD)

A.若$|\boldsymbol{b}|=3$,则$\cos\theta=\frac{7}{8}$
B.若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,则$|\boldsymbol{b}|=2$
C.$\theta$的取值范围为$[0,\frac{\pi}{6}]$
D.$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}$的最大值为$12$

答案： 7.ACD 对于A,由|a|=|2a−b|=2,得4a²−4a·b+b²=a²=4,得|b|²−8|b|cosθ+12=0.若|b|=3,则9−24cosθ+12=0,得cosθ=7/8,故A正确.对于B,若a//b,则cosθ=1或−1,当cosθ=−1时,|b|²+8|b|+12=0不成立,当cosθ=1时,|b|²−8|b|+12=0,解得|b|=2或6,故B错误.对于C,由Δ=64cos²θ−4×12≥0, −8cosθ＞0, 得cosθ≥√3/2.因为θ∈[0,π],所以θ∈[0,π/6],故C正确.对于D,由√3/2≤cosθ=(a·b)/(|a||b|)≤1,得2≤|b|≤6,所以a·b=2|b|cosθ≤12,当cosθ=1,|b|=6时,等号成立，故D正确.

8.已知$\triangle ABC$,则下列说法正确的是
(BCD)

A.当$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}＞0$时,$\triangle ABC$为锐角三角形
B.若$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{PA}$,则点$P$必为$\triangle ABC$的垂心
C.若$(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})·\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})·\overrightarrow{BC}=0$,则点$P$是$\triangle ABC$的外心
D.若$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})·\overrightarrow{BC}=0$,且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}·\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{2}$,则$\triangle ABC$是等边三角形

答案： 8.BCD 对于A,因为AB·AC=|AB||AC|cosA＞0,所以cosA＞0,所以A为锐角，但不确定其他角的情况，A错误;对于B,由PA·PB=PB·PC可得(PA−PC)·PB=0,即CA·PB=0,故CA⊥PB,所以点P在边CA的高上,同理可得点P也在其他两边的高上,所以点P为△ABC的垂心,B正确;对于C,设AB的中点为M,由(PA+PB)·AD=0,得2PM·AD=0,即PM⊥AB,又M是AB的中点，所以点P在AB的垂直平分线上，同理可得，点P在BC的垂直平分线上，即P是△ABC三边垂直平分线的交点，故P是△ABC的外心,故C正确;对于D,因为AB/|AB|,AC/|AC|分别表示AB,AC方向上的单位向量，所以易得AB/|AB|+AC/|AC|的方向与∠BAC的平分线一致，由(AB/|AB|+AC/|AC|)·BC=0,得∠BAC的平分线与BC垂直,则AB=AC,又cosA=(AB·AC)/(|AB||AC|)=½,A=60°,所以△ABC是等边三角形，D正确.