《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是 (BCD)

A.球
B.圆锥
C.三棱锥
D.四棱台

答案：
8. BCD 对于A，球的截面形状都是圆，不存在截面是三角形的情况；对于B，圆锥的轴截面是等腰三角形，所以满足；对于C，用平行于三棱锥底面的截面去截三棱锥，所得截面形状是三角形，所以满足；对于D，如图所示，取四棱台的顶点$A_1$，$C_1$，B，此时截面形状是三角形，所以满足.
　　　　　　

9. 下列说法错误的是 (ABD)

A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥
D.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

答案：
9. ABD 对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥，而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误.
　　　　　　　
对于B，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误；
棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误，对于C，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以C正确；对于D，各个面都是三角形的几何体可如下图所示，
　　　　　　　　
而该几何体不是三棱锥，所以D错误.

10. 如图，下列几何体中，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台(仅填相应序号).

答案： 10. ①③④ ⑥ ⑤ 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.

11. 如图所示的是我们常见的一种陀螺，请同学们仔细观察，该几何体是由一个圆柱、两个圆台和一个圆锥构成的.

答案： 11. 一个圆柱、两个圆台和一个圆锥

12. 已知某 $ n $ 棱锥有 $ m $ 个面、$ k $ 条棱，若 $ 3k = 5m $，则 $ n = $5.

答案： 12. 5 依题意，n棱锥的侧棱数为n，底面边数为n，则棱数$k = 2n$.n棱锥的侧面数为n，则面数$m = n + 1$.而$3k = 5m$，则$6n = 5(n + 1)$，所以$n = 5$.

13. 如图，以 $ □ ABCD $ 的一边 $ AB $ 所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.

答案：
13. 解：这个几何体的图形如图所示，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.
　　　　　　　　　

14. [多选题]如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体. 下列可能是该几何体的截面的为 (BCD)

答案：
14. BCD 截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面；当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图1，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面；
　　　　　　　　
当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图2中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面；
　　　　　　　　　
　　如图3，按图中截面$A_1B_1C_1$的位置去剖开正方体，截面就会如选项D，故D可能是该几何体的截面.