《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 已知空间中两条直线 $ l,m $,平面 $ \alpha $,且满足 $ m\subset \alpha $,则“$ l\perp m $”是“$ l\perp \alpha $”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1. B 只有当$l$垂直于$\alpha$内的两条相交直线时，才可推出$l\perp\alpha$.由题可知，$l$垂直于$\alpha$内的一条直线$m$，$l$可能与平面$\alpha$斜交、平行，或在平面$\alpha$内，故无法推出$l\perp\alpha$，充分性不成立；$l\perp\alpha$，又$m\subset\alpha$，则$l\perp m$，故必要性成立.综上所述，“$l\perp m$”是“$l\perp\alpha$”的必要不充分条件.

2. 已知正四棱锥的底面边长为$\sqrt{2}$,侧棱与底面所成角为$\frac{\pi}{4}$,则该正四棱锥的体积为(A)

A.$\frac{2}{3}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2

答案：
2. A 由题知正四棱锥底面是边长为$\sqrt{2}$的正方形，其对角线长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$.如图，在正四棱锥$P - ABCD$中，$O$为底面$ABCD$的中心，则$PO\perp$底面$ABCD$，故$\angle PAO$就是侧棱$PA$与底面所成的角，即$\angle PAO = \frac{\pi}{4}$.在$Rt\triangle PAO$中，$\tan\angle PAO = \frac{PO}{AO}$，且$AO = 1$，则正四棱锥的高$PO = AO·\tan\angle PAO = 1×1 = 1$.又底面面积$S = (\sqrt{2})^2 = 2$，故体积$V = \frac{1}{3}S· PO = \frac{1}{3}×2×1 = \frac{2}{3}$.

3. 如图,在正四棱台 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,已知 $ AB = 2,AA_1 = A_1B_1 = 1 $,则侧棱 $ BB_1 $ 与底面 $ ABCD $ 所成角的正弦值为(B)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
3. B 过$B,B_1,D,D_1$四点作正四棱台的截面图，如图所示，易知四边形$B_1BDD_1$为等腰梯形.过点$B_1$作$B_1M\perp BD$于点$M$，过点$D_1$作$D_1N\perp BD$于点$N$.

由线面角的定义可知，侧棱$BB_1$与底面$ABCD$所成角即为$\angle B_1BM$.由条件可得，$BB_1 = 1$，$B_1D_1 = \sqrt{2}$，$BD = 2\sqrt{2}$，则$MN = B_1D_1 = \sqrt{2}$，$BM = ND = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$B_1M = \sqrt{BB_1^2 - BM^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\sin\angle B_1BM = \frac{B_1M}{BB_1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，即$BB_1$与底面$ABCD$所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. 如图,在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中,$ AC = BC,AB = AA_1 $,$ D $ 是 $ A_1B_1 $ 的中点,点 $ F $ 在 $ BB_1 $ 上,记 $ B_1F = \lambda BF $,若 $ AB_1\perp $ 平面 $ C_1DF $,则实数 $ \lambda $ 的值为(D)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1

答案：
4. D 由题意知$C_1D\perp A_1B_1$，$C_1D\perp A_1A$，$A_1B_1\cap A_1A = A_1$，所以$C_1D\perp$平面$AA_1B_1B$，故$C_1D\perp AB_1$，如图，作$DF\perp AB_1$交$BB_1$于点$F$，连接$C_1F$，$A_1B$，此时$AB_1\perp$平面$C_1DF$.在矩形$A_1B_1BA$中，$A_1B_1 = A_1A$，所以四边形$A_1B_1BA$是正方形，所以$A_1B\perp AB_1$，所以$DF// A_1B$，又$D$为$A_1B_1$的中点，所以$F$为$BB_1$的中点，即$BB_1 = 2B_1F$，所以$B_1F = BF$，所以$\lambda = 1$.

5. 如图,$ PA\perp $ 平面 $ ABCD $,四边形 $ ABCD $ 为正方形,下列结论错误的是(C)

A.$ PB\perp BC $
B.$ PD\perp CD $
C.$ PD\perp BD $
D.$ PA\perp BD $

答案： 5. C 因为$PA\perp$平面$ABCD$，$BC\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp BC$，又$BC\perp AB$，$PA\cap AB = A$，$PA,AB\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp$平面$PAB$，又$PB\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp PB$，A正确；因为$PA\perp$平面$ABCD$，$CD\subset$平面$ABCD$，$AD\cap PA = A$，$AD,PA\subset$平面$PAD$，所以$CD\perp$平面$PAD$，又$PD\subset$平面$PAD$，所以$PD\perp CD$，B正确；$PA\perp$平面$ABCD$，$BD\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp BD$，故D正确；连接$PO$，因为$BD\perp AO$，$BD\perp PA$，$AO,PA\subset$平面$PAO$，$AO\cap PA = A$，所以$BD\perp$平面$PAO$，又$PO\subset$平面$PAO$，所以$BD\perp PO$，所以$\triangle PDB$为等腰三角形，且$PD = PB$，所以$BD$与$PD$不垂直，故C错误.

6. 教材变式 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ E,F $ 分别是 $ BC,CD $ 的中点,$ AC\cap EF = G $.现在沿 $ AE,EF,FA $ 把这个正方形折成一个四面体,使 $ B,C,D $ 三点重合,重合后的点记为 $ P $,则在四面体 $ P - AEF $ 中,必有(A)

A.$ AP\perp \triangle PEF $ 所在平面
B.$ AG\perp \triangle PEF $ 所在平面
C.$ EP\perp \triangle AEF $ 所在平面
D.$ PG\perp \triangle AEF $ 所在平面

答案：
6. A 折成的四面体如图所示，因为$AP\perp PE$，$AP\perp PF$，$PE\cap PF = P$，$PE,PF\subset$平面$PEF$，所以$AP\perp$平面$PEF$.

教材链接人教A版必修二习题8.6第15题改编

7. 如图,在以下四个正方体中,直线 $ AB $ 与平面 $ CDE $ 垂直的是(BD)

答案： 7. BD 对于A，由$AB$与$CE$所成角为$45^{\circ}$，可得直线$AB$与平面$CDE$不垂直；对于B，由$AB\perp CE$，$AB\perp ED$，且$CE\cap ED = E$，可得$AB\perp$平面$CDE$；对于C，由$AB$与$CE$所成角为$60^{\circ}$，可得直线$AB$与平面$CDE$不垂直；对于D，由$ED\perp$平面$ABC$，可得$ED\perp AB$，同理$EC\perp AB$，且$ED\cap EC = E$，可得$AB\perp$平面$CDE$.