《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 如图,正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的棱长为 4,$ E $ 为 $ DD_1 $ 的中点,$ F,G $ 分别为 $ C_1D_1,BC_1 $ 上一点,$ C_1F = 1,FG // $ 平面 $ ACE $,则下列结论正确的是 (ACD)

A.$ BD_1 // $ 平面 $ ACE $
B.$ BD_1 $ 与 $ FG $ 是异面直线
C.$ BG = 3\sqrt{2} $
D.$ C_1G = \sqrt{2} $

答案： 8.ACD 根据题意，连接$BD$，与$AC$交于点$O$，连接$EO$，在$\triangle BDD_{1}$中，$O$为$BD$的中点，则$EO$为$\triangle BDD_{1}$的中位线，则$BD_{1}// EO$，而$BD_{1}⊄$平面$ACE$，而$EO\subset$平面$ACE$，则$BD_{1}//$平面$ACE$，又由$FG//$平面$ACE$，$FG$与$BD_{1}$共面，则$BD_{1}// FG$，又由$C_{1}F = 1$，且$C_{1}D_{1}=4$，则$GF=\frac{1}{4}BD_{1}=\sqrt{3}$，则$C_{1}G=\sqrt{2}$，则$BG = BC_{1}-C_{1}G = 3\sqrt{2}$。

9. 在四棱锥 $ P - ABCD $ 中,底面 $ ABCD $ 为梯形,$ AB // CD $,则 (ACD)

A.平面 $ PBC $ 内存在无数条直线与平面 $ PAD $ 平行
B.平面 $ PAD $ 和平面 $ PBC $ 的交线与底面 $ ABCD $ 平行
C.平面 $ PAB $ 和平面 $ PCD $ 的交线与底面 $ ABCD $ 平行
D.平面 $ PAD $ 内任意一条直线都不与 $ BC $ 平行

答案： 9.ACD 对于A，设平面$PBC\cap$平面$PAD = l$，在平面$PBC$内存在无数条直线与$l$平行，且不包含于平面$PAD$，则在平面$PBC$内存在无数条直线与平面$PAD$平行，故A正确；对于B，若$l//$平面$ABCD$，$l\subset$平面$PBC$，平面$PBC\cap$平面$ABCD = BC$，同理，$l// AD$，则$BC// AD$，这与四边形$ABCD$为梯形矛盾，故B错误；对于C，设平面$PAB\cap$平面$PCD = m$，因为$AB// CD$，$AB⊄$平面$PCD$，$CD\subset$平面$PCD$，所以$AB//$平面$PCD$，又$AB\subset$平面$PAB$，平面$PAB\cap$平面$PCD = m$，所以$AB// m$，又$AB\subset$平面$ABCD$，$m⊄$平面$ABCD$，所以$m//$平面$ABCD$，故C正确；对于D，若平面$PAD$内存在一条直线$a$与$BC$平行，则$BC//$平面$PAD$，又$BC\subset$平面$ABCD$，平面$ABCD\cap$平面$PAD = AD$，则$BC// AD$，矛盾，所以平面$PAD$内任意一条直线都不与$BC$平行，故D正确。

10. $ \alpha,\beta,\gamma $ 是三个平面,$ a,b $ 是两条直线,有下面三个条件:①$ a // \gamma,b \subset \beta $;②$ a // \gamma,b // \beta $;③$ a \subset \gamma,b // \beta $. 命题“$ \alpha \cap \beta = a,b \subset \gamma $,且①或③,则 $ a // b $”是真命题(在横线处填写序号).

答案： 10.①或③ ①中$a//\gamma$，$b\subset\beta$，$\gamma\cap\beta = b$，得出$a// b$；③中，$a\subset\gamma$，$b//\gamma$，$b\subset\beta$，$\gamma\cap\beta = a$，得出$a// b$。

11. 如图所示,已知 $ A,B,C,D $ 四点不共面,且 $ AB // \alpha,CD // \alpha,AC \cap \alpha = E,AD \cap \alpha = F,BD \cap \alpha = H,BC \cap \alpha = G $,则四边形 $ EFHG $ 的形状是平行四边形.

答案： 11.平行四边形 平面$ADC\cap\alpha = EF$，且$CD//\alpha$，得$EF// CD$。同理可证$GH// CD$，$EG// AB$，$FH// AB$。所以$GH// EF$，$EG// FH$。所以四边形$EFHG$是平行四边形。

12. 如图,在四棱锥 $ P - ABCD $ 中,底面 $ ABCD $ 为平行四边形,$ E $ 为 $ PA $ 的中点,$ \triangle EBC $ 所在平面截四棱锥得到两个几何体,其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为$\frac{3}{5}$.

答案：
12.$\frac{3}{5}$ 如图，由四棱锥$P - ABCD$的底面$ABCD$为平行四边形，得$BC// AD$。而$AD\subset$平面$PAD$，$BC⊄$平面$PAD$，则$BC//$平面$PAD$。令平面$EBC\cap$平面$PAD = l$，$BC\subset$平面$EBC$，$BC\subset$平面$ABCD$，平面$ABCD\cap$平面$PAD = AD$，则$l// BC// AD$。又$E$为$PA$的中点，设$l$与$PD$交于点$F$，则$F$是$PD$的中点，连接$ED$，$EF$，$FC$，$AC$。设四棱锥$P - ABCD$的体积为$V$，则截面下面部分几何体的体积为$V_{四棱锥E - ABCD}+V_{三棱锥C - DEF}$，显然$V_{四棱锥E - ABCD}=\frac{1}{2}V$，$V_{三棱锥C - DEF}=\frac{1}{4}V_{三棱锥C - PAD}=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}V_{四棱锥P - ABCD}=\frac{1}{8}V$，则$V_{四棱锥E - ABCD}+V_{三棱锥C - DEF}=\frac{5}{8}V$，于是截面上面部分几何体的体积为$V-\frac{5}{8}V=\frac{3}{8}V$，所以较小的几何体与较大的几何体的体积比为$\frac{3}{5}$。

13. 如图,在四棱锥 $ P - ABCD $ 中,底面 $ ABCD $ 为平行四边形,$ E $ 为棱 $ PC $ 的中点,平面 $ ABE $ 与棱 $ PD $ 交于点 $ F $.
(1)求证:$ PA // $ 平面 $ BDE $;
(2)求证:$ F $ 为 $ PD $ 的中点.

答案：
13.证明:
(1)如图，连接$AC$交$BD$于点$G$，连接$GE$。因为$ABCD$为平行四边形，所以$G$为$AC$的中点。又$E$为$PC$的中点，所以$GE// PA$。又$PA⊄$平面$BDE$，$GE\subset$平面$BDE$，所以$PA//$平面$BDE$。

(2)因为底面$ABCD$为平行四边形，所以$AB// CD$，又$AB\subset$平面$ABEF$，$CD⊄$平面$ABEF$，所以$CD//$平面$ABEF$。又平面$ABEF\cap$平面$PDC = EF$，所以$CD// EF$，又$E$为$PC$的中点，所以$F$为$PD$的中点。