《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 在△ABC中,已知BC=1,记$\overrightarrow{AB}=c$,$\overrightarrow{AC}=b$,则$\vert b - c\vert$= (C)

A.3
B.2
C.1
D.4

答案： 1. C $|b - c| = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = 1$.

2. (易错易混)在△ABC中,下列四个等式成立的个数为 (C)
①$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$;②$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$;③$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=0$;④$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}$.

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2. C 对于①，$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$，故①错误；对于②，$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$，故②正确；对于③，$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BC} = 0$，故③正确；对于④，$\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$，故④正确.
方法总结 减去一个向量可以看作加上这个向量的相反向量.
易错警示 同起点向量相减，差是减式的终点(尾)指向被减式的终点(尾)的向量，即同头尾反接.

3. 如图,向量$\overrightarrow{AB}=a$,$\overrightarrow{AC}=b$,$\overrightarrow{CD}=c$,则向量$\overrightarrow{BD}$可以表示为 (C)


A.$a + b + c$
B.$a - b + c$
C.$b - a + c$
D.$b - a - c$

答案： 3. C 解法1 依题意，$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{BD} = b - a + c$.
解法2 $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = -a + b + c$.

4. 设$a$表示“向东走6km”,$b$表示“向南走3km”,则$b - a + b$所表示的意义为 (C)

A.向东南走$6\sqrt{2}$km
B.向东南走$3\sqrt{6}$km
C.向西南走$6\sqrt{2}$km
D.向西南走$3\sqrt{6}$km

答案：
4. C 如图，分别作出$\overrightarrow{OA} = a,\overrightarrow{OB} = 2b$，则利用向量加法的交换律可得$b - a + b = 2b - a$，故$\overrightarrow{AB} = 2b - a$，易知$\triangle OAB$为等腰直角三角形，故$\angle OAB = 45^{\circ}$，且$|\overrightarrow{AB}| = 6\sqrt{2}$，于是$b - a + b$所表示的意义为向西南走$6\sqrt{2} km$.

5. 已知$O$为四边形$ABCD$所在平面内的一点,且向量$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$,$\overrightarrow{OD}$满足等式$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$.若$E$为$AC$的中点,则$\frac{S_{\triangle EAB}}{S_{\triangle BCD}}$= (B)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

答案：
5. B 因为向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}$满足等式$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$，所以$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$，即$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$，则四边形$ABCD$为平行四边形.又$E$为$AC$的中点，则$E$为对角线$AC$与$BD$的交点，如图，则$S_{\triangle EAB} = S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ADE} = S_{\triangle BCE}$，所以$\frac{S_{\triangle EAB}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{1}{2}$.

6. 已知向量$a$,$b$满足$\vert a\vert=\vert b\vert=\vert a - b\vert$,则$a$与$a + b$的夹角为 (A)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{6}$

答案：
6. A 设$\overrightarrow{OA} = a,\overrightarrow{OB} = b$，以$OA,OB$为邻边作平行四边形$OACB$，如图所示，则$\overrightarrow{BA} = a - b,\overrightarrow{OC} = a + b$.由$|a| = |b| = |a - b|$，知四边形$OACB$为菱形，且$\angle BOA = \frac{\pi}{3}$，则$a$与$a + b$的夹角为$\angle COA = \frac{\pi}{6}$.

7. 下列各式化简为$0$的是 (ACD)

A.$\overrightarrow{NQ}-\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{MP}$
B.$\overrightarrow{CM}-(\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MD})+\overrightarrow{NA}$
C.$\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})$
D.$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})$

答案： 7. ACD 对于A，$\overrightarrow{NQ} - \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{QP} - \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QP} - \overrightarrow{MP} = 0$，A正确；对于B，$\overrightarrow{CM} - (\overrightarrow{NC} - \overrightarrow{MD}) + \overrightarrow{NA} = (\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MD}) + \overrightarrow{NA} - \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA}$，B错误；对于C，$\overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = 0$，C正确；对于D，$(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}) - (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = 0$，D正确.
方法总结 善于应用加减运算的交换律、结合律，将向量重新排列组合为符合“同起点向量相减，首尾相连向量相加”的形式.

8. 对于非零向量$a$,$b$,下列命题正确的是 (AB)

A.$\vert a\vert+\vert b\vert=\vert a + b\vert\Leftrightarrow a$与$b$的方向相同
B.$\vert a\vert+\vert b\vert=\vert a - b\vert\Leftrightarrow a$与$b$的方向相反
C.$\vert a + b\vert=\vert a - b\vert\Leftrightarrow a$与$b$的模相等
D.$\vert a\vert-\vert b\vert=\vert a - b\vert\Leftrightarrow a$与$b$的方向相同

答案：
8. AB 由于$|a + b| \leq |a| + |b|$，当且仅当$a$与$b$同向时取等，故A正确；由选项A可知，$a$与$-b$同向，即$a$与$b$反向，故B正确；设$\overrightarrow{AB} = a,\overrightarrow{AD} = b$，以$AB,AD$为邻边作平行四边形，如图，由$|a + b| = |a - b|$得$|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{DB}|$，即四边形$ABCD$为矩形，不一定有$|a| = |b|$，故C错误；当$|a| = 0$，$|b| \neq 0$时，易知$a$与$b$方向相同，但$|a| - |b| = -|b| \neq |a - b|$，故D错误.

方法总结 对于非零向量$a,b$，因为$|a - b| = |a + (-b)|$，所以向量三角关系式$||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$仍然有效，当且仅当$a,b$共线时等号成立.