《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 为评估一种农作物的种植效果,选了 n 块地作试验田. 这 n 块地的亩产量(单位:kg)分别为 $ x_1,x_2,·s,x_n $,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 (B)

A.$ x_1,x_2,·s,x_n $ 的平均数
B.$ x_1,x_2,·s,x_n $ 的标准差
C.$ x_1,x_2,·s,x_n $ 的最大值
D.$ x_1,x_2,·s,x_n $ 的中位数

答案： 1. B 标准差(方差)常用来刻画数据的离散(稳定)程度.

2. 经过简单随机抽样获得样本数据 $ x_1,x_2,·s,x_n $,且数据 $ x_1,x_2,·s,x_n $ 的平均数为 $ \overline{x} $,方差为 $ s^2 $,则下列说法正确的是 (C)

A.若 $ s^2 = 0 $,则所有的数据 $ x_i(i = 1,2,·s,n) $ 都为 0
B.若 $ \overline{x} = 3 $,则 $ y_i = 2x_i + 1(i = 1,2,·s,n) $ 的平均数为 6
C.若 $ s^2 = 3 $,则 $ y_i = 2x_i + 1(i = 1,2,·s,n) $ 的方差为 12
D.若该组数据的 25%分位数为 90,则可以估计总体中至少有 75%的数据不大于 90

答案： 2. C 对于A,$\frac{1}{n}[\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}]=0$,所以$(x_{i}-\bar{x})^{2}=0(i=1,2,·s,n)$,得数据$x_{1}=x_{2}=·s=x_{n}=\bar{x}$,但不一定为0,故A 错误;对于B,因为数据$x_{1},x_{2},·s,x_{n}$的平均数$\bar{x}=3$,所以数据$y_{i}=2x_{i}+1(i=1,2,·s,n)$的平均数为$2×3 + 1=7$,故B错误;对于C,数据$x_{1},x_{2},·s,x_{n}$的方差$s^{2}=3$,则数据$y_{i}=2x_{i}+1(i=1,2,·s,n)$的方差为$2^{2}×3 = 12$,故C正确;对于D,数据$x_{1},x_{2},·s,x_{n}$的25%分位数为90,则可以估计总体中有至少75%的数据大于或等于90,故D错误.
教材链接 人教A版必修二9.2.4练习第2题改编

3. 甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数 $ \overline{x} $ 及其方差 $ s^2 $ 如图表所示,则选送决赛的最佳人选应是 (B)


A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： 3. B 因为$\bar{x}_{乙}=\bar{x}_{丙}＞\bar{x}_{甲}=\bar{x}_{T}$,且$s_{甲}^{2}=s_{乙}^{2}＜s_{丙}^{2}＜s_{T}^{2}$,故应选择乙进入决赛.

4. 已知 $ a,b,c $ 的平均数与方差均为 4,则 $ a^2,b^2,c^2 $ 的平均数为 (C)

A.16
B.18
C.20
D.24

答案： 4. C 由题意得,$\frac{a + b + c}{3}=4$,即$a + b + c = 12$,且$\frac{(a - 4)^{2}+(b - 4)^{2}+(c - 4)^{2}}{3}=4$,故$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-8(a + b + c)+48}{3}=4$,解得$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}=20$.

5. 已知某样本的容量为 50,平均数为 70,方差为 75. 现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将 80 记录为 60,另一个错将 70 记录为 90. 在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为 $ \overline{x} $,方差为 $ s^2 $,则 (A)
A.$ \overline{x} = 70,s^2 ＜ 75 $
B.$ \overline{x} = 70,s^2 ＞ 75 $
C.$ \overline{x} ＞ 70,s^2 ＜ 75 $
D.$ \overline{x} ＜ 70,s^2 ＞ 75 $

答案： 5. A 不妨设未更正前的数据为$x_{1}=60,x_{2}=90,x_{3},·s,x_{50}$,改正后的数据为$x_{1}'=80,x_{2}'=70x_{3},·s,x_{50}$.由题意得$\frac{1}{50}\sum_{i = 1}^{50}x_{i}=\frac{1}{50}(60 + 90+\sum_{i = 3}^{50}x_{i})=70$,则$\sum_{i = 1}^{50}x_{i}=3350$,所以改正后的平均数$\bar{x}=\frac{1}{50}(x_{1}'+x_{2}'+\sum_{i = 3}^{50}x_{i})=\frac{1}{50}(80 + 70+\sum_{i = 3}^{50}x_{i})=70$.又$\frac{1}{50}\sum_{i = 1}^{50}(x_{i}-70)^{2}=\frac{1}{50}×[(60 - 70)^{2}+(90 - 70)^{2}+\sum_{i = 3}^{50}(x_{i}-70)^{2}]=75$,则$\sum_{i = 3}^{50}(x_{i}-70)^{2}=3250$,所以改正后的方差$s^{2}=\frac{1}{50}[(80 - 70)^{2}+(70 - 70)^{2}+\sum_{i = 3}^{50}(x_{i}-70)^{2}]=\frac{1}{50}[100+0 + 3250]=67＜75$.

6. 已知数据 $ x_1,x_2,x_3,·s,x_n $ 的众数、平均数、方差、第 80 百分位数分别是 $ a_1,b_1,c_1,d_1 $,数据 $ y_1,y_2,y_3,·s,y_n $ 的众数、平均数、方差、第 80 百分位数分别是 $ a_2,b_2,c_2,d_2 $,且满足 $ y_i = 2x_i - 1(i = 1,2,3,·s,n) $,则下列结论错误的是 (A)

A.$ a_2 = a_1 $
B.$ b_2 = 2b_1 - 1 $
C.$ c_2 = 4c_1 $
D.$ d_2 = 2d_1 - 1 $

答案： 6. A 由题意可知,两组数据满足$y_{i}=2x_{i}-1(i = 1,2,3,·s,n)$,则它们的众数也满足该关系,则有$a_{2}=2a_{1}-1$,故A错误.由平均数计算公式得$\frac{1}{n}(y_{1}+y_{2}+·s+y_{n})=\frac{1}{n}[(2x_{1}-1)+(2x_{2}-1)+·s+(2x_{n}-1)]=\frac{2}{n}×(x_{1}+x_{2}+·s+x_{n})-1$,即$b_{2}=2b_{1}-1$,故B正确.由方差的性质可得$c_{2}=4c_{1}$,故C正确.当$0.8n = k$是整数时,$d_{1}=\frac{x_{k}+x_{k + 1}}{2},d_{2}=\frac{2x_{k}-1+2x_{k + 1}-1}{2}=2d_{1}-1$;当$0.8n$不是整数时,设其整数部分为$k$,则$d_{1}=x_{k + 1},d_{2}=2x_{k + 1}-1=2d_{1}-1$,故$d_{2}=2d_{1}-1$,故D正确.