《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，与棱 $AA_{1}$ 平行的棱共有(C)

A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条

答案： 1. C 与棱 AA₁平行的棱有 BB₁,CC₁,DD₁，共 3 条。

2. 若两等角的一组对应边平行，则(D)

A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边也可能垂直
D.以上皆有可能

答案：
2. D 如图，在长方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁中，∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°，两组对应边分别平行；∠ABC = ∠A₁B₁B = 90°，一组对应边平行，另一组对应边不平行，但垂直。
　　　　　　

3. 已知 $AB // PQ$，$BC // QR$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，则 $\angle PQR =$(B)

A.$30^{\circ}$
B.$30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.以上结论都不对

答案： 3. B 若 AB 与 PQ，BC 与 QR 方向都相同或相反，则∠PQR = ∠ABC = 30°；若 AB 与 PQ，BC 与 QR 中有一对方向相反，则∠PQR + ∠ABC = 180°，即∠PQR = 150°。

4. 在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$F$ 分别是侧面 $AA_{1}D_{1}D$、侧面 $CC_{1}D_{1}D$ 的中心，$G$，$H$ 分别是棱 $AB$，$BC$ 的中点，则直线 $EF$ 与直线 $GH$ 的位置关系是(C)

A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直

答案：
4. C 如图，连接 AD₁，CD₁，AC。因为 E，F 分别为 AD₁，CD₁的中点，由三角形的中位线定理知 EF // AC，GH // AC，所以 EF // GH。
　　　　　　

5. 若一条直线与两条平行直线中的一条相交，则它和另一条的位置关系是(A)

A.相交或异面
B.平行
C.异面
D.相交

答案：
5. A 空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面。如图，在正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AB // CD，AA₁ ⊥ AB，AA₁与 CD 异面；AB // CD，AD ⊥ AB，AD 与 CD 相交。若这条直线与另一条平行，则三条直线互相平行，与已知条件中这条直线与两条平行直线中的一条相交矛盾，所以它和另一条的位置关系不可能是平行，所以它和另一条的位置关系是相交或异面。
　　　　　　　

6. 在棱长为 1 的正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $DD_{1}$ 的中点，$F$ 为棱 $BB_{1}$ 的中点，则直线 $FC_{1}$ 与 $AE$ 间的距离是(B)

A.1
B.$\frac{\sqrt{30}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{2}$

答案：
6. B 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁中，取 CC₁的中点 G，连接 AF，C₁E，BG，EG。
　　　　　　　
因为 E 为棱 DD₁的中点，所以 EG // CD // AB，EG = CD = AB，所以四边形 AEGB 为平行四边形，于是 AE // BG。又 F 为棱 BB₁的中点，则 BF // GC₁，BF = GC₁，所以四边形 BFC₁G 为平行四边形，于是 C₁F // BG，从而 AE // C₁F，同理 AF // C₁E，所以四边形 AEC₁F 为平行四边形，且 AF = AE = $\sqrt{1^2 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，因此四边形 AEC₁F 为菱形，显然 EF = $\sqrt{2}$，AC₁ = $\sqrt{3}$。令直线 FC₁与直线 AE 间的距离为 h，由 $S_{四边形AEC₁F} = AE · h = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{3}$，得 $h = \frac{\frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$。

7. 下列正方体或四面体中，$P$，$Q$，$R$，$S$ 分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是(ABC)

答案： 7. ABC A 选项，正方体中，PR // SQ，所以 P，Q，R，S 四点共面，故 A 正确；B 选项，正方体中，PS // RQ，所以 P，Q，R，S 四点共面，故 B 正确；C 选项，四面体中，PR // SQ，所以 P，Q，R，S 四点共面，故 C 正确；D 选项，四面体中，PR 与 SQ 既不平行也不相交，所以 P，Q，R，S 四点不共面，故 D 不正确。