《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

14. [2025江苏泰州期末]如图，已知$AB = 2,CD = 4$，向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$.
(1)求$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}·\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD}·\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DA}·\overrightarrow{AB}$的值.
(2)若线段$AD,BC$的中点分别为$P,Q$，$\overrightarrow{PQ} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{CD}$.求：
①实数$x,y$的值；
②线段$PQ$的长.

答案： 14.解：
(1)$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} · \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD} · \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DA} · \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} · (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{DA} · (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}) · (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})$。由$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = 0$，得$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})$，所以$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} · \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD} · \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DA} · \overrightarrow{AB} = - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})^2 = - (\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{CD}^2 + 2\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD}) = - (2^2 + 4^2 + 2 × 2 × 4 × \cos 60^{\circ}) = -28$。
(2)①因为$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CQ}$，且P，Q分别是AD，BC的中点，所以$2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BQ} + \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CQ} = (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PD}) + \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BQ} + \overrightarrow{CQ}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$，即$\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，由$\overrightarrow{PQ} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$不共线，得$x = \frac{1}{2}$，$y = -\frac{1}{2}$。
②因为$\overrightarrow{PQ}^2 = (\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CD})^2 = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}^2 + \frac{1}{4}\overrightarrow{CD}^2 - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD} = \frac{1}{4} × 4 + \frac{1}{4} × 16 - \frac{1}{2} × 2 × 4 × \cos \frac{\pi}{3} = 3$，所以$\overrightarrow{PQ} = |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3}$。