《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

10. 已知复数 $z=(m^{2}-1)+(m^{2}-2m - 3)i$ 为纯虚数，其中 $i$ 为虚数单位，$m\in R$，若 $z + 4 = a^{2}+3a+(a^{2}+7a + 8)i(a\in R)$，则 $a$ 的值为-4.

答案： 10. -4 因为复数z为纯虚数,所以$\begin{cases}m^{2}-1 = 0,\\m^{2}+2m - 3 \neq 0,\end{cases}$解得m=-1,则z=-4i,从而z+4=4-4i=a$^{2}$+3a+(a$^{2}$+7a+8)i(a∈R),得$\begin{cases}a^{2}+3a = 4,\\a^{2}+7a+8 = -4,\end{cases}$解得a=-4.

11. 已知集合 $M=\{1,m,3+(m^{2}-5m - 6)i\},N=\{-1,3\}$，若 $M\cap N=\{3\}$，则实数 $m$ 的值为3或6.

答案： 11. 3或6 因为M∩N={3},所以3∈M且-1∉M,从而有$\begin{cases}m \neq 3且m \neq -1,\\3+(m^{2}-5m - 6)i = 3\end{cases}$或m=3,解得m=6或m=3.

12. 有下列说法：
① $i$ 表示虚数单位，所以它不是一个虚数；
②若 $z = a(a\in R)$，则复数 $z$ 没有虚部；
③ $1 - ai(a\in R)$ 是一个复数；
④若复数 $z$ 满足 $-1\lt z\lt1$，则 $z$ 一定是实数；
⑤ $-1$ 的平方根只有一个，即为 $-i$；
⑥ $\sqrt{2}i$ 是一个无理数.
其中正确的有③④(填序号).

答案： 12. ③④ 对于①,i表示虚数单位,也是一个虚数,故①错误;对于②,若z=a(a∈R),则复数z虚部为0,故②错误;对于③,满足形如a+bi(a,b∈R)的数均为复数,故③正确;对于④,若复数z满足-1＜z＜1,则z一定是实数,故④正确;对于⑤,-1的平方根不止一个,因为(±i)$^{2}$=-1,故⑤错误;对于⑥,$\sqrt{2}$i是虚数,故⑥错误.综上可得,③④正确.

13. 已知复数 $z=(m^{2}-m - 6)+(m^{2}-3m - 10)i(m\in R)$.
(1) 若 $z$ 为实数，求 $m$ 的值；
(2) 若 $z$ 为虚数，求 $m$ 的值；
(3) 若 $z$ 为纯虚数，求 $m$ 的值；
(4) 若 $z$ 为 0，求 $m$ 的值.

答案： 13. 解:
(1)若z为实数,则m$^{2}$-3m - 10=0,解得m=-2或m=5.
(2)若z为虚数,则m$^{2}$-3m - 10≠0,解得m≠-2且m≠5.
(3)若z为纯虚数,则$\begin{cases}m^{2}-3m - 10 \neq 0,\\m^{2}-m - 6 = 0,\end{cases}$解得m=3.
(4)若z为0,则$\begin{cases}m^{2}-3m - 10 = 0,\\m^{2}-m - 6 = 0,\end{cases}$解得m=-2.
方法总结 熟悉复数z=a+bi(a,b∈R)的分类:
(1)若z是实数,则b=0;
(2)若z是虚数,则b≠0;
(3)若z是纯虚数,则a=0且b≠0.

14. 已知复数 $z_{1}=m+(1 - m^{2})i(m\in R),z_{2}=\cos\theta+(\lambda+\sin\theta)i(\lambda,\theta\in R)$，若 $z_{1}=z_{2}$，则 $\lambda$ 的取值范围为[$-\frac{1}{4}$,2].

答案： 14. [$-\frac{1}{4}$,2] 因为z$_{1}$=z$_{2}$,所以$\begin{cases}m = \cos\theta,\\1 - m^{2}=\lambda+\sin\theta,\end{cases}$消去m,得1-$\cos^{2}\theta$=λ+sinθ,即λ=$\sin^{2}\theta-\sin\theta$=$(\sin\theta-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$
又-1≤sinθ≤1,所以当sinθ=$\frac{1}{2}$时,λ取得最小值$-\frac{1}{4}$,当sinθ=-1时,λ取得最大值2,即$-\frac{1}{4}$≤λ≤2.