《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

8. 若 $ M,N $ 为直线 $ l $ 外两点,则过这两点且与该直线平行的平面可能有(ABC)

A.0 个
B.1 个
C.无数个
D.2 个

答案：
8.ABC 分以下三种情况讨论：①若直线MN与直线l相交，则过M，N两点且与直线l平行的平面有0个。②若直线MN与直线l异面，如图所示。作直线m与直线l平行，且使得直线m与直线MN相交，此时，直线m与直线MN确定的平面为平面α，则直线l//平面α，所以过M，N两点且与直线l平行的平面有1个。③若直线MN与直线l平行，则过M，N两点且与直线l平行的平面有无数个。
　　　　　　　

9. 已知在三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中,$ D,E $ 分别是 $ AB,A_1C_1 $ 的中点,则(AB)

A.$ BC_1 // $ 平面 $ A_1DC $
B.$ DE // $ 平面 $ BCC_1B_1 $
C.$ A_1D // $ 平面 $ B_1EC $
D.$ BC_1 // $ 平面 $ CDE $

答案：
9.AB 对于A，如图1，连接AC₁交A₁C于点F，连接DF，则F是AC₁的中点。又D是AB的中点，则DF//BC₁，DF⊂平面A₁DC，BC₁⊄平面A₁DC，所以BC₁//平面A₁DC，A正确。
　　　　 　　　
对于B，如图2，取BC的中点G，连接DG，C₁G。因为D是AB的中点，所以DG//AC//A₁C₁，即DG//EC₁，DG = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$A₁C₁ = EC₁，所以四边形DGCE是平行四边形，所以DE//C₁G。又DE⊄平面BCC₁B₁，C₁G⊂平面BCC₁B₁，所以DE//平面BCC₁B₁，B正确。对于C，如图3，取BC的中点P，连接DP，EP。D是AB的中点，同选项B的分析可得四边形DPEA₁是平行四边形，所以A₁D//EP，显然EP与平面B₁EC相交，C错误。
　　　 　
对于D，如图4，连接AC₁交EC于点Q，连接DQ，则平面ABC₁ ∩平面CDE = DQ，若BC₁//平面CDE，BC₁⊂平面ABC₁，则DQ//BC₁。又D是AB的中点，所以Q是AC₁的中点，而显然Q不是AC₁的中点，矛盾，D错误。
方法总结：证明线面平行的关键是证明该直线与平面内的一条直线平行。简记为线线平行⇒线面平行。所以找线线平行是证明线面平行的关键。

10. 已知 $ m,n $ 是平面 $ \alpha $ 外的两条直线,给出下列三个论断:①$ m // n $;②$ m // \alpha $;③$ n // \alpha $.以其中两个为条件,余下的一个为结论,写出你认为正确的一个命题:①②⇒③(或①③⇒②).

答案： 10.①②⇒③(或①③⇒②) 若m//n，m//α，则n//α。同样，若m//n，n//α，则m//α。

11. 在正三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中,$ AA_1 = 3 $,过 $ A_1B $ 且与 $ AC_1 $ 平行的平面交直线 $ CC_1 $ 于点 $ P $,则 $ CP = $6.

答案： 11.6 如图，延长CC₁至点P，使得C₁P = CC₁，连接A₁P，则四边形AA₁PC是平行四边形，所以A₁P//AC₁。连接PB，因为A₁P⊂平面A₁BP，AC₁⊄平面A₁BP，所以AC₁//平面A₁BP，则平面A₁BP即为所求，此时CP = 2AA₁ = 6。

12. 如图,在梯形 $ ABCD $ 中,$ AB // CD $,$ CD = 2AB $,$ E,F $ 分别为 $ AD,CD $ 的中点,沿 $ AF $ 把 $ \triangle ADF $ 折起,使点 $ D $ 不落在平面 $ ABCF $ 内,如图 2,那么在以下 3 个结论中,正确的结论是①③(填序号).
①$ CF // $ 平面 $ ABD $;②$ BE // $ 平面 $ CDF $;③$ CD // $ 平面 $ BEF $.

答案：
12.①③ 对于①，由ABCD是梯形，得CF//AB，又CF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以CF//平面ABD，所以①正确。对于②，延长AB到G，使AB = BG，连接DG，如图1：
　　　　　　　
因为E为AD的中点，所以BE//DG。因为DG与平面CDF交于点D，所以BE与平面CDF不可能平行，所以②错误。对于③，连接AC交BF于点O，连接OE，如图2：
　　　　　　　
在梯形ABCD中，易得四边形ABCF为平行四边形，所以O为AC的中点。因为E为AD的中点，所以OE//CD。又OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，所以CD//平面BEF，所以③正确。

13. 如图,在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,$ E,F,G $ 分别为 $ D_1D,D_1C,AB $ 的中点. 求证:
(1)$ D_1B // $ 平面 $ EAC $;
(2)$ FG // $ 平面 $ ADD_1A_1 $.

答案：
(1) 连接BD交AC于点O，连接OE。
∵四边形ABCD为正方形，
∴O为BD中点。
∵E为D₁D中点，
∴OE为△D₁DB的中位线，
∴OE//D₁B。
∵OE⊂平面EAC，D₁B⊄平面EAC，
∴D₁B//平面EAC。
(2) 取DD₁中点P，连接AP，FP。
∵F为D₁C中点，P为DD₁中点，
∴FP为△D₁DC的中位线，
∴FP//DC，FP=1/2DC。
∵四边形ABCD为正方形，
∴DC//AB，DC=AB。
∵G为AB中点，
∴AG=1/2AB=1/2DC=FP。
∵FP//DC，DC//AB，
∴FP//AG，
∴四边形AGPF为平行四边形，
∴FG//AP。
∵AP⊂平面ADD₁A₁，FG⊄平面ADD₁A₁，
∴FG//平面ADD₁A₁。

14. [多选题]如图,在透明塑料制成的封闭的长方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 容器内灌进一些水,将容器底面一边 $ BC $ 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,下列说法正确的是()


A.水的部分始终呈棱柱状
B.水面四边形 $ EFGH $ 的面积不改变
C.棱 $ A_1D_1 $ 始终与水面 $ EFGH $ 平行
D.当 $ E \in AA_1 $ 时,$ AE + BF $ 是定值

答案： ACD