《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 下列条件能推出平面α//平面β的是 (A)

A.平面α内的任意一条直线都与平面β平行
B.直线n//平面α,直线n//平面β,且直线n不在平面α内,也不在平面β内
C.直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且直线a//平面β,直线b//平面α
D.平面α内有无穷多条直线都与平面β平行

答案：
1.A 对于A，由平面$\alpha$内任意一直线与平面$\beta$平行，一定能找到两条相交的直线$a$，$b$，使得直线$a//$平面$\beta$，直线$b//$平面$\beta$，则由面面平行的判定定理即可得到$\alpha//\beta$，A正确；对于B，由图1可知直线$n//$平面$\alpha$(平面$ABCD$)，直线$n//$平面$\beta$(平面$DCEF$)，且直线$n$不在平面$\alpha$内，也不在平面$\beta$内，但是平面$\alpha$与平面$\beta$相交，B错误;
　　　　　　　
对于C，如图2，直线$a\subset$平面$\alpha$，直线$b\subset$平面$\beta$，且直线$a//$平面$\beta$，直线$b//$平面$\alpha$，但是平面$\alpha$与平面$\beta$相交，C错误;
　　　　　　　　
对于D，$a//\beta$，平面$\alpha$内只要与直线$a$平行的直线都与平面$\beta$平行，这样的线有无数条，但是平面$\alpha$与平面$\beta$相交，D错误.
　　　　　　　　

2. 如图,在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,E在B₁D₁上,F在A₁B₁上,且$\frac{B₁E}{B₁F} = \frac{B₁D₁}{B₁A₁}$,过点E作EH//B₁B交BD于点H,则平面EFH与平面BB₁C₁C的位置关系是 (A)

A.平行
B.相交
C.垂直
D.以上都有可能

答案： 2.A 在平面$A_1B_1C_1D_1$中，因为$\frac{B_1E}{B_1F}=\frac{B_1D_1}{B_1A_1}$，又$A_1D_1// B_1C_1$，所以$EF// A_1D_1$，所以$EF// B_1C_1$，又$EF⊄$平面$BB_1C_1C$，$B_1C_1\subset$平面$BB_1C_1C$，所以$EF//$平面$BB_1C_1C$，又$EH// B_1B$，$EH⊄$平面$BB_1C_1C$，$B_1B\subset$平面$BB_1C_1C$，所以$EH//$平面$BB_1C_1C$，又$EF\cap EH=E$，$EF$，$EH\subset$平面$EFH$，所以平面$EFH//$平面$BB_1C_1C$.

3. 已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下命题:①m,n相交且都在平面α,β外,m//α,m//β,n//α,n//β,则α//β;②若m⊂α,n⊂α,m//β,n//β,则α//β;③若m//α,n//β,m//n,则α//β.其中真命题的个数是 (B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
3.B 设$m\cap n=P$，则直线$m$，$n$确定一个平面，设为$\gamma$，由面面平行的判定定理知：$\alpha//\gamma$，$\beta//\gamma$，因此$\alpha//\beta$，即命题①是真命题；如图中的长方体中，在平面$ABCD$内，直线$BC$，$EF$都平行于平面$ADD_1A_1$，即满足命题②的条件，但平面$ABCD$与平面$ADD_1A_1$不平行，因此命题②是假命题；同理可知，命题③也是假命题.
　　　　　　　

4. 如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,结论错误的是 (D)

A.平面EFGH//平面ABCD
B.BC//平面PAD
C.AB//平面PCD
D.平面PAD//平面PAB

答案：
4.D 把平面展开图还原为四棱锥，如图所示.
　　　　　　　
对于A，因为$E$，$F$分别是$PA$，$PD$的中点，所以$EF// AD$，且$EF⊄$平面$ABCD$，$AD\subset$平面$ABCD$，所以$EF//$平面$ABCD$，同理可证$EH//$平面$ABCD$，且$EF\cap EH=E$，$EH$，$EF\subset$平面$EFGH$，所以平面$EFGH//$平面$ABCD$，故A正确；对于B，因为$BC// AD$，$BC⊄$平面$PAD$，$AD\subset$平面$PAD$，所以$BC//$平面$PAD$，故B正确；对于C，因为$AB// CD$，$AB⊄$平面$PCD$，$CD\subset$平面$PCD$，所以$AB//$平面$PCD$，故C正确；对于D，平面$PAD \cap$平面$PAB=PA$，故D错误.

5. 如图,在三棱柱ABC - A₁B₁C₁中,M为A₁C₁的中点,N为侧面BCC₁B₁上的一点,且MN//平面ABC₁.若点N的轨迹长度为2,则 (B)

A.AC₁ = 4
B.BC₁ = 4
C.AB₁ = 6
D.B₁C = 6

答案：
5.B 如图，取$B_1C_1$的中点$D_1$，$BB_1$的中点$E$，连接$MD_1$，$DE$，$ME$.$MD_1// A_1B_1// AB$，$DE// BC$.又$MD_1⊄$平面$ABC$，$AB\subset$平面$ABC$，所以$MD_1//$平面$ABC_1$.同理可得$DE//$平面$ABC_1$.又$MD_1\cap DE=D$，$MD_1$，$DE\subset$平面$MDE$，所以平面$MDE//$平面$ABC_1$.又$MN//$平面$ABC_1$，故点$N$的轨迹为线段$DE$.由$DE=\frac{1}{2}BC_1=2$，可得$BC_1=4$.
　　　　　　　

6. 如图,在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,$\frac{A₁E}{EB₁} = \frac{BF}{FB₁} = \frac{CG}{GC₁} = \frac{D₁H}{HC₁} = 2$,则下列说法错误的是 (A)

A.BD₁//GH
B.BD与EF异面
C.EH//平面ABCD
D.平面EFGH//平面A₁BCD₁

答案：
6.A 如图所示，连接$A_1B$，$D_1C$，$BD$，$B_1D_1$.
　　　　　　
由$\frac{AE}{EB}=\frac{BF}{FB_1}=2$可得$EF// A_1B_1$，且$\frac{EF}{A_1B_1}=\frac{BE}{B_1A_1}=\frac{1}{3}$，同理可得$GH// CD_1$，$FG// BC$，且$\frac{GH}{CD_1}=\frac{1}{3}$.因为$GH// CD_1$，$CD_1\cap BD_1=D_1$，所以$BD_1$不可能平行于$GH$，即A错误.易知$BD$与$EF$异面，即B正确.在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$A_1B// CD$，$A_1B=CD$，所以$EF// GH$，$EF=GH$，即四边形$EFGH$为平行四边形，所以$EH// FG$.又$BC// FG$，所以$EH// BC$，$EH⊄$平面$ABCD$，$BC\subset$平面$ABCD$，所以$EH//$平面$ABCD$，即C正确.因为$EF// A_1B$，$EF⊄$平面$A_1BCD$，$A_1B\subset$平面$A_1BCD$，所以$EF//$平面$A_1BCD$.又$BC// FG$，$FG⊄$平面$A_1BCD$，$BC\subset$平面$A_1BCD$，所以$FG//$平面$A_1BCD$.又$EF \cap FG=F$，且$FG$，$EF\subset$平面$EFGH$，所以平面$EFGH//$平面$A_1BCD$，即D正确.

7. 在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,下列直线或平面与平面ACD₁平行的是 (AD)

A.直线A₁B
B.直线BB₁
C.平面A₁DC₁
D.平面A₁BC₁

答案：
7.AD 如图，由$A_1B// D_1C$，且$A_1B⊄$平面$ACD_1$，$D_1C\subset$平面$ACD_1$，得$A_1B//$平面$ACD_1$，故A正确；由$BB_1// DD_1$，$DD_1\cap$平面$ACD_1=D_1$，得$BB_1$与平面$ACD_1$相交，故B错误；显然平面$A_1DC$与平面$ACD_1$相交，故C错误；由$A_1B// D_1C$，$AC// A_1C_1$，且$A_1B\cap A_1C_1=A_1$，$AC\cap D_1C=C$，故平面$A_1BC_1//$平面$ACD_1$，故D正确.