《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版》

1. 在 $2+\sqrt{7},\frac{2}{7}i,0,8+5i,(1-\sqrt{3})i,i^{2},0.618$ 这几个数中，纯虚数的个数为(C)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1. C $\frac{2}{7}$i,$(1 - \sqrt{3})$i是纯虚数,共2个.

2. 如果用 $C$，$R$ 和 $I$ 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，那么有(D)

A.$C = R\cup I$
B.$R\cap I=\{0\}$
C.$R = C\cap I$
D.$R\cap I=\varnothing$

答案：
2. D 因为C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,它们之间的关系如图所示,所以R∩I=$\varnothing$.
　　　　　　　　

3. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z=(m^{2}-m - 2)-(m + 1)i$ 为纯虚数，则复数 $z$ 的虚部为(C)

A.$-3i$
B.$3i$
C.$-3$
D.3

答案： 3. C 由题意得$\begin{cases}m^{2}-m - 2 = 0,\\m + 1 \neq 0,\end{cases}$解得m=2,所以z=-3i,虚部为-3.
易错警示 对于复数z=a+bi(a,b∈R),虚部是实数b,而非bi.

4. 若 $2+(a + 1)i(a\in R)$ 为实数，$(b - 2)+\sqrt{3}i(b\in R)$ 为纯虚数，则复数 $a + bi=$(D)

A.$2 - i$
B.$2 + i$
C.$1 + 2i$
D.$-1 + 2i$

答案： 4. D 2+(a+1)i(a∈R)为实数,则a=-1.(b - 2)+$\sqrt{3}$i(b∈R)是纯虚数,则b=2.故a+bi=-1+2i.

5. 若 $x + i^{4}=2 + yi,x,y\in R$，则 $x - y=$(C)

A.3
B.2
C.1
D.0

答案： 5. C 由x+i$^{4}$=2+yi,得x+1=2+yi,所以x+1=2,y=0,所以x-y=1.

6. 已知 $z_{1}=2k^{2}-5+(k^{2}-5k + 6)i,z_{2}=3k+(k^{2}-5k + 6)i(k\in R)$。若 $z_{1}\lt z_{2}$，则(A)

A.$k = 2$
B.$k = 2$ 或 $k = 3$
C.$-1\lt k\lt\frac{5}{2}$
D.$k$ 不存在

答案： 6. A 由z$_{1}$＜z$_{2}$,得$\begin{cases}2k^{2}-5＜3k,\\k^{2}-5k + 6 = 0,\end{cases}$解得k=2.

7. (易错易混)下列说法正确的是(CD)

A.若 $a\gt b$，则 $a + i\gt b + i$
B.若 $a + bi = 0$，则 $a = b = 0$
C.$a + bi$ 不一定是虚数
D.$-i^{2}=1$

答案： 7. CD 对于A,复数不能比较大小,故A错误;对于B,当a=1,b=i时,a+bi=0成立,此时a=b=0不成立,故B错误;对于C,当a∈R且b=0或a∈R且b=i时,a+bi是实数,故C正确;对于D,因为i$^{2}$=-1,所以-i$^{2}$=1,故D正确.
易错警示
(1)两个复数(非实数)不能比较大小.
(2)利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z$_{1}$,z$_{2}$∈C,z$_{1}^{2}$+z$_{2}^{2}$=0,就不能推出z$_{1}$=z$_{2}$=0;z$^{2}$＜0在复数范围内有可能成立.

8. 下列命题正确的是(AD)

A.若 $x,y\in R$，则 $x + yi = 1 + i$ 的充要条件是 $x = y = 1$
B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C.若 $(z_{1}-z_{2})^{2}+(z_{2}-z_{3})^{2}=0,z_{1},z_{2},z_{3}\in C$，则 $z_{1}=z_{2}=z_{3}$
D.若 $x^{2}+1 = 0,x\in C$，则 $x=\pm i$

答案： 8. AD 当x,y∈R时,x+yi=1+i的充要条件是x=y=1,故A正确;纯虚数集相对于复数集的补集是实数集和虚数集中的非纯虚数集,故B错误;z$_{1}$-z$_{2}$=1,z$_{2}$-z$_{3}$=i,满足(z$_{1}$-z$_{2}$)$^{2}$+(z$_{2}$-z$_{3}$)$^{2}$=0,此时z$_{1}$,z$_{2}$,z$_{3}$不相等,故C错误;因为(±i)$^{2}$=-1,所以D正确.

9. 下列四个命题正确的是(BC)

A.若 $a,b\in C$，则复数 $a + bi$ 的实部为 $a$，虚部为 $b$
B.若 $a\in R$，则 $(a + 1)i$ 不一定是纯虚数
C.$i + i^{2}+i^{3}+i^{4}+·s +i^{2024}=0$
D.$x^{4}=1$ 在 $R$ 中有两解，在复数集 $C$ 中也有两解

答案： 9. BC 对于A,只有当a,b∈R时,复数a+bi的实部才为a,虚部为b,A错误;对于B,若a=-1,则(a+1)i=0不是纯虚数,B正确;对于C,因为i$^{2}$=-1,i$^{3}$=-i,i$^{4}$=1,i$^{5}$=i,…,i$^{n}$(n∈N$^{*}$)具有周期性,周期为4,i+i$^{2}$+i$^{3}$+i$^{4}$=0,所以i+i$^{2}$+i$^{3}$+i$^{4}$+…+i$^{2024}$=506×(i+i$^{2}$+i$^{3}$+i$^{4}$)=0,C正确;对于D,方程x$^{4}$=1可化为(x$^{2}$-1)(x$^{2}$+1)=0,在实数集R中,解为x=±1,在复数集C中,解得x=±1或x=±i,有四个解,D错误.