《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

04 如图 6 - 79 - 4①，在 $Rt\triangle CEF$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle CEF$，$\angle CFE$ 的外角平分线交于点 $A$，过点 $A$ 分别作直线 $CE$，$CF$ 的垂线，垂足分别为 $B$，$D$.
(1)$\angle EAF=$45$^{\circ}$.（直接写出结果不写解答过程）
(2)①求证：四边形 $ABCD$ 是正方形；
②若 $BE = EC = 3$，求 $DF$ 的长.
(3)如图 6 - 79 - 4②，在 $\triangle PQR$ 中，$\angle QPR = 45^{\circ}$，高 $PH = 5$，$QH = 2$，则 $HR$ 的长度是$\frac{15}{7}$.（直接写出结果）

答案：
04解:
(1)45
(2)①证明:如图，过点A作AG⊥EF,垂足为G,
　　　　　　　　
则∠AGE=∠AGF=90°.
∵AB⊥CE,AD⊥CF,
∴∠B=∠D=90°=∠C.
∴四边形ABCD是矩形.
∵∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A，
∴AB=AG,AD=AG.
∴AB=AD.
∴四边形ABCD是正方形.
②设DF=x.
∵BE=EC=3,
∴BC=6.
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=6.
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
{
AE = AE,
AB = AG
}
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL).
∴BE=EG=3.
同理,GF=DF=x.
在Rt△CEF中,EC²+FC²=EF²,
即3²+(6−x)²=(x+3)²,解得x=2.
∴DF的长为2.
(3)$\frac{15}{7}$