《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

03
如图1-9-3①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG。
(1)求证：AE=CG；
(2)求证：∠ACG=90°；
(3)当点E运动到如图1-9-3②所示的位置时，求∠DCG的度数；
(4)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数。

答案： 03解:
(1)证明:
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴DA = DC，DE = DG，∠ADC = ∠EDG = 90°.
∴∠ADE = ∠CDG.
在△ADE和△CDG中，
$\begin{cases} AD = CD, \\ ∠ADE = ∠CDG, \\ DE = DG, \end{cases}$
∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE = CG.
(2)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC = ∠ACD = 45°.
∵由
(1)知△ADE≌△CDG，
∴∠DAE = ∠DCG = 45°.
∴∠ACG = ∠ACD + ∠DCG = 90°.
(3)在正方形ABCD中，DA = DC，∠DAC = 45°，
∵∠ADE + ∠EDC = 90°，∠CDG + ∠EDC = 90°，
∴∠ADE = ∠CDG.
∴同理可得△ADE≌△CDG(SAS).
∴∠DCG = ∠DAC = 45°.
(4)∠EFC的度数为120°或30°.