《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 阅读下列材料:
小明遇到这样一个问题:
如图 1 - 8 - 1①,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC ＞ AB $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ \angle ABC = 2\angle C $.
求证:$ AC = AB + BD $;
小明通过思考发现,可以通过“截长”“补短”两种方法解决问题:
方法一:如图 1 - 8 - 1②,在 $ AC $ 上取一点 $ E $,使得 $ AE = AB $,连接 $ DE $,可以得到全等三角形,进而解决问题.
方法二:如图 1 - 8 - 1③,延长 $ AB $ 到点 $ E $,使得 $ BE = BD $,连接 $ DE $,可以得到等腰三角形,进而解决问题.
(1)根据材料,任选其中一种方法证明 $ AC = AB + BD $.
(2)如图 1 - 8 - 1④,在四边形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是 $ BC $ 上一点,$ EA = ED $,$ \angle C = 2\angle B $,$ \angle DAE + \angle B = 90^{\circ} $.探究 $ DC $,$ CE $,$ BE $ 之间的数量关系,并证明.

答案：
01解:
(1)方法一:证明:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD = ∠CAD.
在△BAD和△EAD中，
\begin{cases}AD = AD, \\∠BAD = ∠EAD, \\AB = AE,\end{cases}
∴△BAD≌△EAD(SAS).
∴BD = ED, ∠AED = ∠B = 2∠C.
∵∠AED = ∠C + ∠EDC,
∴∠EDC = ∠C.
∴ED = EC.
∴BD = EC.
∴AC = AE + EC = AB + BD.
方法二:证明:
∵BE = BD,
∴∠E = ∠BDE.
∵∠ABC = ∠E + ∠BDE, 且∠ABC = 2∠C,
∴∠C = ∠E.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD = ∠CAD.
在△AED和△ACD中，
\begin{cases}∠E = ∠C, \\∠EAD = ∠CAD, \\AD = AD,\end{cases}
∴△AED≌△ACD(AAS).
∴AE = AC.
∵AE = AB + BE,
∴AC = AB + BD.
(方法一和方法二任选其中一种证明即可)
(2)BE = DC + CE.
证明:在EB上取点F,使得EF = DC,连接AF,如图.

∵EA = ED,
∴∠EAD = ∠EDA.
∴2∠DAE + ∠AED = 180°.
∵∠DAE + ∠B = 90°,
∴2∠DAE + 2∠B = 180°.
∴∠AED = 2∠B = ∠C.
∵∠BED = ∠AEF + ∠AED = ∠CDE + ∠C,
∴∠AEF = ∠CDE.
在△AEF和△EDC中，
\begin{cases}EF = DC, \\∠AEF = ∠EDC, \\AE = ED,\end{cases}
∴△AEF≌△EDC(SAS).
∴AF = EC,∠AFE = ∠C = 2∠B.
∵∠AFE = ∠B + ∠BAF,
∴∠B = ∠BAF.
∴BF = AF.
∴BF = CE.
∴BE = EF + BF = DC + CE.