《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 2-24-1，在等腰直角三角形 AOB 中，已知 $ AO \perp OB $，点 P，D 分别在 AB，OB 上。
(1)如图①，若 $ PO = PD $，$ \angle OPD = 45^{\circ} $。求证：$ \triangle BOP $ 是等腰三角形。
(2)如图②，若 $ AB = 10 $，点 P 在 AB 上移动，且满足 $ PO = PD $，$ DE \perp AB $ 于点 E。试问：此时 PE 的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请予以证明。

答案：

(1)证明:
∵PO=PD,∠OPD=45°,
∴∠POD=∠PDO=$\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}{2}$=67.5°.
∵在等腰直角三角形AOB中，AO⊥OB，
∴∠B=45°.
∴∠OPB=180°−∠POB−∠B=67.5°.
∴∠POD=∠OPB.
∴BP=BO,即△BOP是等腰三角形.
(2)PE的值不变，且PE=5.
证明:如图，过点O作OC⊥AB于点C.

∵∠AOB=90°,AO=BO,OC⊥AB,
∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB=∠B=45°,C为AB的中点.
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5.
∵PO=PD,
∴∠POD=∠PDO.
又
∵∠POD=∠COD+∠POC=45°+∠POC,∠PDO=∠B+∠DPE=45°+∠DPE,
∴∠POC=∠DPE.
在△POC和△DPE中，
$\begin{cases}∠PCO=∠DEP=90°,\\∠POC=∠DPE,\\PO=DP,\end{cases}$
∴△POC≌△DPE(AAS).
∴OC=PE=5.
∴PE的值不变，且PE=5.

02 已知：如图 2-24-2，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB ＞ AC $，$ \angle B = 45^{\circ} $，D 是 BC 边上一点，且 $ AD = AC $，过点 C 作 $ CF \perp AD $，垂足为 E，与 AB 交于点 F。
(1)若 $ \angle CAD = \alpha $，求 $ \angle ACD $ 的度数；（用含 $ \alpha $ 的式子表示）
(2)在(1)的条件下，求 $ \angle BCF $ 的大小；（用含 $ \alpha $ 的式子表示）
(3)判断 $ \triangle ACF $ 的形状，并说明理由。

答案：

(1)
∵AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC.
∵∠CAD=α,
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$(180°−∠CAD)=90°−$\frac{1}{2}$α.
(2)
∵CF⊥AD,
∴∠AEC=90°.
∴∠ACE=90°−α.
∴∠FCB=∠ACB−∠ACE=90°−$\frac{1}{2}$α−90°+α=$\frac{1}{2}$α.
(3)△ACF是等腰三角形.
理由:过点A作AG⊥BC于点G,如图.

∵∠B=45°,AG⊥BC,
∴∠BAG=∠B=45°.
∵∠BAC=45°+∠CAG,∠AFC=45°+∠DCF,
又
∵△ADC为等腰三角形,AG⊥DC,AD⊥CF，
∴∠DAG=∠CAG,∠DAG+∠ADG=∠DCF+∠ADG=90°.
∴∠DAG=∠DCF=∠CAG.
∴∠BAC=∠AFC.
∴AC=FC.
∴△ACF是等腰三角形.