《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 (1)若 $\frac{4}{x + 1}$ 表示一个整数，求整数 $x$ 可取的值；
(2)求使分式 $\frac{4x + 1}{2x - 1}$ 的值为整数的所有整数 $x$ 的和；
(3)若分式 $\frac{2a + 1}{a + 1}$ 的值是正整数，求整数 $a$ 的值.

答案： 01 解：
(1)
∵$x$是整数，$\frac {4}{x+1}$也表示一个整数，
$\therefore x + 1$为$4$的因数，即$x + 1 = \pm 1$，$\pm 2$，$\pm 4$，
解得$x = - 2$或$0$或$- 3$或$1$或$- 5$或$3$.
则整数$x$可取的值为$- 5$，$- 3$，$- 2$，$0$，$1$，$3$.
(2)$\frac {4x + 1}{2x - 1} = \frac {2(2x - 1) + 3}{2x - 1} = 2 + \frac {3}{2x - 1}$.
由题意可知，$\frac {3}{2x - 1}$是整数，
$\therefore 2x - 1 = \pm 1$或$\pm 3$，
解得$x = 0$或$1$或$2$或$- 1$.
$\therefore$所有整数$x$的和为$0 + 1 + 2 - 1 = 2$.
(3)
∵分式$\frac {2a + 1}{a + 1}$的值是正整数，且$\frac {2a + 1}{a + 1} = \frac {2a + 2 - 1}{a + 1} = 2 - \frac {1}{a + 1}$，$\therefore\frac {1}{a + 1}$为小于$2$的整数.
$\therefore a + 1 = \pm 1$，解得$a = 0$或$- 2$.
$\therefore$整数$a$的值为$0$或$- 2$.

02 已知正整数 $x,y$ 满足 $y = \frac{x + 8}{2x - 1}$，则符合条件的 $x,y$ 的值有几组？分别是什么？

答案： 02 解：
∵$x$，$y$均为正整数，
$\therefore y = \frac {x + 8}{2x - 1} \geq 1$，$x \geq 1.\therefore 2x - 1 \geq 1$.
$\therefore x + 8 \geq 2x - 1$，解得$x \leq 9$.
结合$x \geq 1$，可知符合条件的$x$的值为$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，
对应的$y$的值为$9$，$\frac {10}{3}$，$\frac {11}{5}$，$\frac {12}{7}$，$\frac {13}{9}$，$\frac {14}{11}$，$\frac {15}{13}$，$\frac {16}{15}$，$1$.
$\therefore$符合条件的$x$，$y$的值为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 9 \end{cases}$
$\therefore$符合条件的$x$，$y$的值有$2$组，分别为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 9 \end{cases}$，$\begin{cases} x = 9, \\ y = 1 \end{cases}$.

03 (1)已知 $x$ 为整数，且 $\frac{2}{x + 3}-\frac{2}{x - 3}+\frac{2x + 18}{x^{2} - 9}$ 为正整数，求整数 $x$ 的值；
(2)已知 $a$ 为整数，且 $\frac{3}{a - 1}+\frac{a^{2} - 4a + 4}{a^{2} - 1}÷\frac{a - 2}{a + 1}$ 为整数，求所有符合条件的 $a$ 的值.

答案： 03 解：
(1)$\frac {2}{x + 3} - \frac {2}{x - 3} + \frac {2x + 18}{x^2 - 9} = \frac {2}{x - 3}$
∵$x$为整数，且$\frac {2}{x + 3} - \frac {2}{x - 3} + \frac {2x + 18}{x^2 - 9}$为正整数，
$\therefore x - 3 = 1$或$x - 3 = 2$.
$\therefore x = 4$或$5$.
(2)$\frac {3}{a - 1} + \frac {a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1} ÷ \frac {a - 2}{a + 1} = 1 + \frac {2}{a - 1}$
∵$a$为整数，且$\frac {3}{a - 1} + \frac {a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1} ÷ \frac {a - 2}{a + 1}$为整数，
$\therefore a - 1 = \pm 1$或$a - 1 = \pm 2$.
$\therefore a = 2$或$a = 0$或$a = 3$或$a = - 1$.
根据分式有意义的条件，得$\begin{cases} a^2 - 1 \neq 0, \\ a - 2 \neq 0 \end{cases}$
解得$a \neq \pm 1$且$a \neq 2$.
$\therefore a = 0$或$a = 3$.