《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”就是通过将两个数或代数式作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要求出M−N的值，若M−N＞0，则M＞N；若M−N=0，则M=N；若M−N＜0，则M＜N。
【解决问题】
(1)若n＞0，试判断：$\frac{n + 1}{n} - \frac{n + 2}{n + 1}$＞0（填“＞”“=”或“＜”）。
(2)已知$A = \frac{m^{2} + 6m + 9}{m^{2} - 9}$，$B = \frac{2m + 1}{2m + 6}$，当m＞−3时，试比较$\frac{1}{A}$与B的大小，并说明理由。
(3)嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了m kg该商品，琪琪两次购买该商品都花了n元，已知他们第一次购买该商品的价格为a元/kg，第二次购买该商品的价格为b元/kg（a，b均为正整数，且a≠b）。请用“作差法”比较嘉嘉和琪琪两次所购买该商品的平均价格的高低。

答案： 01 解:
(1)＞
$(2)\frac {1}{A}＜B.$理由如下：
$\frac {1}{A}-B=\frac {m^2-9}{m^2+6m+9}-\frac {2m+1}{2m+6} $
$=\frac {(m+3)(m-3)}{(m+3)^2}-\frac {2m+1}{2(m+3)} $
$=\frac {2m-6}{2(m+3)}-\frac {2m+1}{2(m+3)}=\frac {-7}{2(m+3)}. $
∵m＞-3,
∴2(m+3)＞0.
∴$\frac {-7}{2(m+3)}＜0.$
∴$\frac {1}{A}＜B. $
(3)嘉嘉两次购买该商品的平均价格为$\frac {ma+mb}{2m}=\frac {a+b}{2}, $
琪琪两次购买商品的平均价格为$\frac {2n}{\frac {n}{a}+\frac {n}{b}}=\frac {2ab}{a+b}, $
$\therefore \frac {a+b}{2}-\frac {2ab}{a+b}=\frac {(a-b)^2}{2(a+b)}＞0. $
∴嘉嘉两次购买商品的平均价格高于琪琪两次购买商品的平均价格.

02
从火车上下来的两位旅客沿着同一路线到同一地点去，甲旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪位旅客先到达目的地？（假设速度单位都相同，且速度a≠速度b）

答案： 02 解:设甲、乙两旅客走的路程为x.
甲旅客用的时间为$\frac {1}{2}(\frac {x}{a}+\frac {x}{b}),$乙旅客用的时间为$\frac {2x}{a+b}. $
$\because \frac {1}{2}(\frac {x}{a}+\frac {x}{b})-\frac {2x}{a+b}=\frac {(a-b)^2x}{2ab(a+b)}＞0, $
$\therefore \frac {1}{2}(\frac {x}{a}+\frac {x}{b})＞\frac {2x}{a+b}. $
答:乙旅客先到达目的地.