《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法. 例如：$am + an + bm + bn = (am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (a + b)(m + n)$.
(1) 分解因式：①$ab - 2a - 2b + 4$；②$9 - 4x^{2} + 4xy - y^{2}$.
(2) 若$a$，$b(a ＞ b)$都是正整数且满足$ab - 2a - 2b - 4 = 0$，求$2a + b$的值.

答案： 01 解：
(1)①原式=(ab - 2a) - (2b - 4)=a(b - 2) - 2(b - 2)=(a - 2)(b - 2).
②$9 - 4x^{2}+4xy - y^{2}=9 - (4x^{2}-4xy + y^{2})=9 - (2x - y)^{2}=(3 - 2x + y)(3 + 2x - y)$.
(2)$\because ab - 2a - 2b - 4 = 0$，则$ab - 2a - 2b + 4 - 8 = 0$，
由①可知$(a - 2)(b - 2)=8$.
$\because a,b(a＞b)$都是正整数，
$\therefore a - 2＞b - 2＞-2$，且$a - 2,b - 2$都是整数.
$\therefore\begin{cases}a - 2 = 8,\\b - 2 = 1\end{cases}$或$\begin{cases}a - 2 = 4,\\b - 2 = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 10,\\b = 3\end{cases}$或$\begin{cases}a = 6,\\b = 4\end{cases}$.
故$2a + b$的值为 23 或 16.

02 材料：在对某些多项式分解因式时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项. 如：$x^{4} + 4 = (x^{4} + 4x^{2} + 4) - 4x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - 4x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2x)^{2} = (x^{2} + 2x + 2)(x^{2} - 2x + 2)$.
按照这种方法把下列多项式分解因式.
(1)$x^{4} + 4y^{4}$； (2)$x^{2} - 2ax - b^{2} - 2ab$；
(3)$x^{4} - 5x^{2} + 4$； (4)$x^{3} + 9x - 10$.

答案： 02 解：
(1)原式=$(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy)$.
(2)原式=$(x + b)(x - 2a - b)$.
(3)原式=$(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 1)$.
(4)原式=$(x - 1)(x^{2}+x + 10)$.