《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 观察下列运算：
由$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$，得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$；
由$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$，得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
由$(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1$，得$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$；
......
(1)通过观察你得出什么规律？用含$n$的式子表示出来。
(2)利用(1)中你发现的规律计算：$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+·s+\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}+\frac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2021}})(\sqrt{2022}+1)$。

答案：
(1)观察给出的运算，可以得到以下规律：
$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$，其中$n$是正整数。
(2)根据
(1)中的规律，原式可以表示为：
$(\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{2021} - \sqrt{2020} + \sqrt{2022} - \sqrt{2021})(\sqrt{2022} + 1)$。
由于中间的项都会相互抵消，所以原式简化为：
$(\sqrt{2022} - 1)(\sqrt{2022} + 1)$。
利用平方差公式，原式等于：
$2022 - 1 = 2021$。

02 观察下列各式及其变形过程：
$a_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}+2\sqrt{1}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$，$a_{2}=\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$，$a_{3}=\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}$，$·s$。
(1)按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程：$a_{5}=$；
(2)请通过计算验证(1)中$a_{5}$变形过程的正确性；
(3)按照此规律，化简$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{n})(a_{1}-a_{2}-a_{3}-·s-a_{n}+\sqrt{2})$。

答案：
(1)
$a_{5}=\frac{1}{5\sqrt{6}+6\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{6}}$
(2)
对$a_{5}=\frac{1}{5\sqrt{6}+6\sqrt{5}}$分母有理化，分子分母同乘$5\sqrt{6}-6\sqrt{5}$：
$\begin{aligned}a_{5}&=\frac{5\sqrt{6}-6\sqrt{5}}{(5\sqrt{6}+6\sqrt{5})(5\sqrt{6}-6\sqrt{5})}\\&=\frac{5\sqrt{6}-6\sqrt{5}}{(5\sqrt{6})^{2}-(6\sqrt{5})^{2}}\\&=\frac{5\sqrt{6}-6\sqrt{5}}{150 - 180}\\&=\frac{5\sqrt{6}-6\sqrt{5}}{- 30}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{aligned}$
(3)
由已知$a_{1}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$，$a_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$，$a_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}$，$·s$，$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$
则$a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{n}=1-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$
$a_{1}-a_{2}-a_{3}-·s - a_{n}+\sqrt{2}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}-(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})-(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}})-·s-(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}})+\sqrt{2}=1+\frac{1}{\sqrt{n + 1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=1+\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$
所以$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{n})(a_{1}-a_{2}-a_{3}-·s - a_{n}+\sqrt{2})=(1 - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})(1+\frac{1}{\sqrt{n + 1}})=1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n}{n + 1}$
综上，答案依次为：
(1)$\frac{1}{5\sqrt{6}+6\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{6}}$；
(2)验证过程如上述；
(3)$\frac{n}{n + 1}$。