《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 2 - 19 - 1,已知在$\triangle ABC$中,$\angle ACB$的平分线$CD$交$AB$于点$D$,$DE// BC$.
(1)如图①,求证:$\triangle CDE$是等腰三角形;
(2)如图②,若$DE$平分$\angle ADC$交$AC$于点$E$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,在$BC$边上取点$F$,使$BF = DF$,若$BC = 12$,求$DF$的长.

答案： 01解:
(1)证明:
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ACD.
∵DE//BC,
∴∠BCD=∠EDC.
∴∠EDC=∠ACD.
∴ED=EC.
∴△CDE是等腰三角形.
(2)
∵DE//BC,∠ABC=30°，
∴∠ADE=∠ABC=30°.
又
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE=30°.
由
(1)可知，∠ACD=∠BCD=∠CDE=30°，
又
∵BF=DF,
∴∠B=∠BDF=30°.
∴∠DFC=30°+30°=60°.
∴∠FDC=90°.
∴DF=$\frac{1}{2}$FC.
又
∵DF=BF,BC=12,
∴DF=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×12=4.

02 (1)如图 2 - 19 - 2①,$O$为线段$MN$的中点,$PQ$与$MN$相交于点$O$,且$PM// NQ$,求证:$\triangle PMO\cong\triangle QNO$.
(2)根据上述结论探究:如图 2 - 19 - 2②,在四边形$ABCD$中,$AB// DC$,$E$为$BC$边的中点,$\angle BAE=\angle EAF$,$AF$与$DC$的延长线相交于点$F$.试探究线段$AB$与$AF$,$CF$之间的数量关系,并证明你的结论.

答案：
02解:
(1)证明:
∵O为线段MN的中点，
∴MO=NO.
∵PM//NQ,
∴∠P=∠Q,∠M=∠N.
在△PMO和△QNO中，
$\begin{cases}∠P=∠Q,\\∠M=∠N,\\MO=NO,\end{cases}$
∴△PMO≌△QNO(AAS).
(2)AB=AF+CF.
证明:如图，分别延长DC,AE,交于点G.

同
(1)可得△ABE≌△GCE,
∴AB=CG.
又
∵AB//DC,
∴∠BAE=∠G.
∵∠BAE=∠EAF,
∴∠G=∠EAF.
∴AF=GF.
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF.