《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

04 关于勾股定理,有很多证法,在我国都是用拼图形求面积的方法来证明的.下面的证法是欧几里得证法.如图5-58-4所示,在$ Rt△ABC(∠ACB=90^{\circ}) $的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE、正方形BCHK、正方形ACFG,它们的面积分别是$ c^{2} $,$ a^{2} $,$ b^{2} $.
(1)叙述勾股定理并结合图形写出已知、求证;
(2)根据图中所添加的辅助线证明勾股定理.

答案： 解：
(1)已知：如图，在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE、正方形BCHK、正方形ACFG,它们的面积分别是$c ^ {2},a ^ {2},b ^ {2}$.
求证：$a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$.
(2)证明：$\because \angle GAC = \angle BAE = 90 ^ { \circ }$，
$\therefore \angle GAC + \angle CAB = \angle BAE + \angle CAB$，
即$\angle GAB = \angle CAE$.
在△ACE和△AGB中，
$\begin{cases} AE = AB, \\ \angle CAE = \angle GAB, \\ AC = AG, \end{cases}$
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle AGB(SAS)$.
$\because S_{\triangle ACE} = \frac {1}{2} AE · EM = \frac {1}{2} S_{矩形AEML},S_{\triangle ABG} = \frac {1}{2} AG · GF = \frac {1}{2} S_{正方形ACFG} = \frac {1}{2} b ^ {2}$，
$\therefore S_{矩形AEML} = b ^ {2}$.
同理$S_{矩形BLMD} = a ^ {2}$，
$\therefore S_{正方形ABDE} = S_{矩形BLMD} + S_{矩形AEML} = a ^ {2} + b ^ {2}$，
则$a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$.
24 练就优等生 初中数学 八年级（RJ）