《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 已知实数 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ 的整数部分为 $x$，小数部分为 $y$，求 $\frac{x + 2y}{x - 2y + 4}$ 的值.

答案： 解：$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$.
$\because0＜2-\sqrt{3}＜1$,$\therefore x=0$,$y=2-\sqrt{3}$.
$\therefore\frac{x+2y}{x-2y+4}=\frac{y}{2-y}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$.

02 在解决问题“已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$，求 $2a^2 - 8a + 1$ 的值”时，小明是这样解答的：
解：$\because a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$，
$\therefore a - 2 = -\sqrt{3}$. $\therefore (a - 2)^2 = 3$，即 $a^2 - 4a + 4 = 3$.
$\therefore a^2 - 4a = -1$. $\therefore 2a^2 - 8a + 1 = 2(a^2 - 4a) + 1 = 2×(-1) + 1 = -1$.
请你根据小明的解答过程，解决如下问题：
(1) 化简：$\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$；
(2) 若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$，求 $3a^2 - 6a - 1$ 的值.

答案： 解：
(1)$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$.
(2)$\because a=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}+1$,$\therefore a - 1=\sqrt{2}$.
$\therefore(a - 1)^2=2$,即$a^2 - 2a + 1=2$.$\therefore a^2 - 2a=1$.
$\therefore3a^2 - 6a=3$.
$\therefore3a^2 - 6a - 1=2$.