《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 已知关于 $ x $ 的分式方程$\frac{x - 3}{x - 2}+1=\frac{a}{2 - x}$($ a $ 为常数且 $ a \neq 0 $)。
(1)若 $ x = 1 $ 是分式方程的解，求 $ a $ 的值；
(2)若分式方程的解为正数，求 $ a $ 的取值范围；
(3)若该分式方程的解为非负数，且关于 $ y $ 的一元一次不等式组$\begin{cases}y\geqslant - 1,\frac{a - y}{2}\geqslant y + 1\end{cases}$有解，求符合条件的所有整数 $ a $ 的和。

答案： 解：
(1)把$x = 1$代入分式方程$\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{a}{2 - x}$
得$\frac{1 - 3}{1 - 2} + 1 = \frac{a}{2 - 1}$，解得$a = 3$.
(2)去分母，得$x - 3 + x - 2 = - a$.解得$x = \frac{5 - a}{2}$
$\because$分式方程的解为正数，$\therefore\frac{5 - a}{2} ＞ 0$，解得$a ＜ 5$.
又$\because x \neq 2$，则$\frac{5 - a}{2} \neq 2$，解得$a \neq 1$.
$\therefore a$的取值范围是$a ＜ 5$且$a \neq 1$.
(3)由
(2)得分式方程的解为$x = \frac{5 - a}{2}$，
$\because$分式方程的解为非负数，且$x \neq 2$，
$\therefore\frac{5 - a}{2} \geqslant 0$且$\frac{5 - a}{2} \neq 2$，即$a \leqslant 5$且$a \neq 1$.
解关于$y$的不等式组$\begin{cases} y \geqslant - 1, \\ \frac{a - y}{2} \geqslant y + 1, \end{cases}$
得$\begin{cases} y \geqslant - 1, \\ y \leqslant \frac{a - 2}{3}. \end{cases}$
$\because$不等式组有解，
$\therefore\frac{a - 2}{3} \geqslant - 1$，即$a \geqslant - 1$.
$\therefore$满足$- 1 \leqslant a \leqslant 5$且$a \neq 1$的所有整数$a$的解为$- 1,0,2$，
$3,4,5$.
$\therefore - 1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 13$.
$\therefore$符合条件的所有整数$a$的和为$13$.

02 已知关于 $ x $ 的分式方程$\frac{2}{x + 4}=\frac{m}{x}$与分式方程$\frac{3}{2x}=\frac{1}{x - 1}$的解相同。
(1)请问这两个方程的共同解是多少？
(2)求 $ m^{2}-2m $ 的值。

答案： 解：
(1)解分式方程$\frac{3}{2x} = \frac{1}{x - 1}$，得$x = 3$.
经检验，$x = 3$是原分式方程的根，
即这两个方程的共同解是$x = 3$.
(2)将$x = 3$代入$\frac{2}{x + 4} = \frac{m}{x}$，得$m = \frac{6}{7}$，
$\therefore m^{2} - 2m = (\frac{6}{7})^{2} - 2 × \frac{6}{7} = - \frac{48}{49}$.

03 (1)若关于 $ x $ 的分式方程$\frac{2x - a}{x - 1}-4=\frac{-2x + a}{x + 1}$的解为整数，则整数 $ a = $±1；
(2)若关于 $ x $ 的分式方程$\frac{ax - 6}{x - 3}+\frac{-3x + 12}{3 - x}=2$有正整数解，且关于 $ y $ 的不等式组$\begin{cases}\frac{5 - 2y}{5}\geqslant - 1,\\1 + y - a＞0\end{cases}$至少有两个整数解，则满足条件的所有整数 $ a $ 的和为（B）
A. $ 2 $
B. $ 3 $
C. $ 6 $
D. $ 11 $

答案： 03
(1)$\pm 1$
(2)B