《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

03 如图2-25-3，C为线段AB上的一点，以AC为边作等边三角形ACD，连接BD。
(1)如图①，以BC为边在AB的上方作等边三角形BCE，连接AE，交BD于点G，连接CG。求证：CG+DG+EG=AE。
(2)如图②，点K在线段BD上，∠BKC=60°，点H在线段AD上，AH=BC，AK，CH交于点I，BD=a，AK=b，则IK=$b−\frac{1}{2}a$。(用含a，b的式子表示)

答案：
03解:
(1)证明:
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°.
∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△DCB中,
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\\CE=CB,\end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS).
∴∠CAE=∠CDB.
∴∠EAC+∠CBD=∠CDB+∠CBD=∠ACD=60°.
∴∠AGB=180°−(∠EAC+∠ABG)=180°−60°=120°.
如图,作∠GCF=60°,CF交AE于点F,

∴∠ACF=∠DCG.
∵∠CAF=∠CDG,AC=CD,
∴△ACF≌△DCG(ASA).
∴AF=DG,CF=CG.
∵∠FCG=60°,
∴△FCG是等边三角形.
∴CG=FG.
∴AE=AF+FG+GE=DG+CG+GE,即CG+DG+EG=AE.
$(2)b−\frac{1}{2}a$