《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01
(1) ① 如图 1 - 5 - 1，在$△ABC$中，$∠A = 40^{\circ}$，$∠B = 72^{\circ}$，$CE$平分$∠ACB$，$CD⊥AB$于点$D$，$DF⊥CE$于点$F$，求$∠CDF$的度数；
② 在题①的条件中，若$∠A = \alpha$，$∠B = \beta(\alpha ＜ \beta)$，其他条件不变，求$∠CDF$的度数。（用含$\alpha$和$\beta$的代数式表示）

答案：
(1)①
∵∠A = 40°,∠B = 72°,
∴∠ACB = 68°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE = 34°.
∴∠CED = ∠A + ∠ACE = 74°.
∵CD⊥AB于点D,DF⊥CE于点F,
∴∠CED + ∠ECD = 90°,∠ECD + ∠CDF = 90°,
∴∠CDF = ∠CED = 74°.
②由①可知，$∠CDF = ∠CED = ∠A + ∠ACE,∠ACE = \frac{1}{2}(180° - α - β),$
∴$∠CDF = α + \frac{1}{2}(180° - α - β) = \frac{1}{2}(180° + α - β).$

(2) 如图 1 - 5 - 2，在$△ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AE$，$BF$分别是$∠CAB$，$∠ABC$的平分线且相交于点$O$，$∠CAB = 50^{\circ}$，$∠C = 60^{\circ}$，求$∠DAE$和$∠BOA$的度数。

答案：
(2)
∵∠CAB = 50°,∠C = 60°,
∴∠ABC = 180° - 50° - 60° = 70°.
又
∵AD是边BC上的高,
∴∠ADC = 90°.
∴∠DAC = 180° - 90° - ∠C = 30°.
∵AE,BF分别是∠CAB,∠ABC的平分线，
∴∠CBF = ∠ABF = 35°,∠EAF = 25°.
∴∠DAE = ∠DAC - ∠EAF = 5°,∠AFB = ∠C + ∠CBF = 60° + 35° = 95°.
∴∠BOA = ∠EAF + ∠AFB = 25° + 95° = 120°.

02
如图 1 - 5 - 3，在$△ABC$中，$AD$是$∠BAC$的平分线，$AE$是$BC$边上的高。
(1) 如图①，若$∠B = 40^{\circ}$，$∠C = 62^{\circ}$，请计算$∠DAE$的度数；
(2) 如图②（$∠B ＜ ∠C$），试说明$∠DAE$，$∠B$，$∠C$之间的数量关系；
(3) 如图③，延长$AC$到点$F$，$∠CAE$和$∠BCF$的平分线交于点$G$，求$∠G$的度数。

答案：
(1)
∵∠B = 40°,∠C = 62°,
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 62° = 78°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴$∠DAC = \frac{1}{2}∠BAC = 39°.$
∵AE是BC边上的高，
∴∠EAC = 90° - ∠C = 90° - 62° = 28°.
∴∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 39° - 28° = 11°.
(2)
∵∠BAC = 180° - ∠B - ∠C,AD是∠BAC的平分线，
∴$∠DAC = \frac{1}{2}∠BAC = 90° - \frac{1}{2}(∠B + ∠C).$
∵AE是BC边上的高，
∴∠EAC = 90° - ∠C.
∴$∠DAE = ∠DAC - ∠EAC = 90° - \frac{1}{2}(∠B + ∠C) - (90° - ∠C) = \frac{1}{2}(∠C - ∠B).$
(3)设∠ACB = α,则∠BCF = 180° - α.
∵AE⊥BC.
∴∠EAC = 90° - α.
∵∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，
∴$∠GAC = \frac{1}{2}∠EAC = \frac{1}{2}(90° - α) = 45° - \frac{1}{2}α,∠FCG = \frac{1}{2}∠BCF = \frac{1}{2}(180° - α) = 90° - \frac{1}{2}α.$
∵∠G + ∠GAC = ∠FCG,
∴$∠G = 90° - \frac{1}{2}α - (45° - \frac{1}{2}α) = 45°.$