《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

04 如图 6-75-4，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，$ \angle ABC = 60° $，过点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E.
(1)求证：四边形 ABEC 为菱形；
(2)若 $ AB = 6 $，连接 OE，求 OE 的长.

答案： 04 解：
(1) 证明：
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC,AB//DE.
∵BE//AC,
∴四边形 ABEC 为平行四边形.
∵AB = BC,∠ABC = 60°,
∴△ABC 为等边三角形.
∴AB = AC.
∴四边形 ABEC 为菱形.
(2)
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠OBC = 30°,AB = AC = BC = 6.
∴OC = 3.
∴$OB = \sqrt{BC^{2}-OC^{2}} = 3\sqrt{3}. $
∵BE//AC,
∴∠OBE = 180° - ∠BOC = 90°.
由
(1)知四边形 ABEC 为菱形，
∴BE = AB = 6.
∴$OE = \sqrt{OB^{2}+BE^{2}} = \sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+6^{2}} = 3\sqrt{7}.$