《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 已知 $ x = 2 - \sqrt{3} $，$ y = 2 + \sqrt{3} $，求下列代数式的值：
(1) $ x^{2} + 2xy + y^{2} $；
(2) $ x^{2} - y^{2} $.

答案： 解：
(1)
∵$x = 2 - \sqrt{3}$，$y = 2 + \sqrt{3}$，
$\therefore x + y = 4$。
$\therefore x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2} = 4^{2} = 16$。
(2)
∵$x = 2 - \sqrt{3}$，$y = 2 + \sqrt{3}$，
$\therefore x + y = 4$，$x - y = - 2\sqrt{3}$。
$\therefore x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y) = 4×( - 2\sqrt{3}) = - 8\sqrt{3}$。

02 当 $ x = 2 + \sqrt{3} $，$ y = 2 - \sqrt{3} $时，$ \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{y + 1}} $的值为$\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

答案： $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

03 已知：$ x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} $，$ y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} $.
(1)求 $ x^{2} + y^{2} - 2xy $的值；
(2)若 $ x $的整数部分是 $ m $，$ y $的小数部分是 $ n $，求 $ 5m^{2} + (x - n)^{2} - y $的值.

答案： 解：
(1)
∵$x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$，$y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$，
$\therefore x - y = - 2\sqrt{3}$。
$\therefore x^{2} + y^{2} - 2xy = (x - y)^{2} = ( - 2\sqrt{3})^{2} = 12$。
(2)
∵$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
$\therefore 0 ＜ 2 - \sqrt{3} ＜ 1$，$3 ＜ 2 + \sqrt{3} ＜ 4$。
$\because x$的整数部分为$m$，$y$的小数部分为$n$，
$\therefore m = 0$，$n = 2 + \sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 1$。
$\therefore 5m^{2} + (x - n)^{2} - y = 5×0^{2} + [(2 - \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1)]^{2} - (2 + \sqrt{3}) = 19 - 13\sqrt{3}$。