《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 计算：
(1)$(-3 + 2a)^{2}$； (2)$(-2x - 3y)^{2}$； (3)$(x - y - z)^{2}$.

答案： 01 解：
(1)$(-3 + 2a)^2 = (2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2 × 2a × 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$。
(2)$(-2x - 3y)^2 = (2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 · 2x · 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$。
(3)$(x - y - z)^2 = [x - (y + z)]^2 = x^2 - 2 · x · (y + z) + (y + z)^2 = x^2 - 2xy - 2xz + y^2 + 2yz + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2yz - 2xz$。

02 解答下列各题：
(1)已知$(a + b)^{2} = 7$，$(a - b)^{2} = 3$，求$a^{2} + b^{2} + ab$的值；
(2)已知$x^{2} + y^{2} = 25$，$x + y = 7$，且$x ＞ y$，求$x - y$的值；
(3)已知$a^{2} - a = 3$，$b^{2} - b = 3$，且$a \neq b$，求$a - b$的值.

答案： 02 解：
(1)$\because (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 7$①，$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 3$②，
$\therefore$由① + ②，得$a^2 + b^2 = 5$，由① - ②，得$4ab = 4$，即$ab = 1$，
则原式$= 5 + 1 = 6$。
(2)$\because x^2 + y^2 = 25$，$x + y = 7$，且$x ＞ y$，
$\therefore (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 2xy = 49$，则$xy = 12$。
$\therefore (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 49 - 48 = 1$，则$x - y = 1$。
(3)$\because a \neq b$，$a^2 - a = 3$①，$b^2 - b = 3$②，
$\therefore$由① - ②，得$a^2 - a - (b^2 - b) = 3 - 3 = 0$。
$\therefore a^2 - a - b^2 + b = a^2 - b^2 - (a - b) = (a + b)(a - b) - (a - b) = (a - b)(a + b - 1) = 0$。
$\therefore a - b = 0$或$a + b - 1 = 0$。
$\therefore a = b$(不合题意，舍去)，$a + b = 1$。
$\because$由① + ②，得$a^2 - a + (b^2 - b) = 3 + 3 = 6$，
$\therefore a^2 + b^2 - (a + b) = 6$。
$\therefore (a + b)^2 - 2ab - (a + b) = 6$。
$\therefore ab = -3$。
$\therefore (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 1 + 12 = 13$，
则$a - b = \pm \sqrt{13}$。

03 阅读：已知$a - b = -4$，$ab = 3$，求$a^{2} + b^{2}$的值.小明的解法如下：
解：因为$a - b = -4$，$ab = 3$，
所以$a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2ab = (-4)^{2} + 2×3 = 22$.
请你根据上述解题思路解答下列问题：
(1)已知$a - b = -5$，$ab = 2$，求$a^{2} + b^{2} - ab$的值；
(2)已知$(2023 - x)(2022 - x) = 20$，求$(2023 - x)^{2} + (2022 - x)^{2}$的值.

答案： 03 解：
(1)$\because a - b = -5$，$ab = 2$，
$\therefore a^2 + b^2 - ab = (a - b)^2 + ab = (-5)^2 + 2 = 27$。
(2)$\because (2023 - x)(2022 - x) = 20$，
$\therefore (2023 - x)^2 + (2022 - x)^2$
$= [(2023 - x) - (2022 - x)]^2 + 2(2023 - x)(2022 - x)$
$= 41$。