《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

02 (1)问题阅读:如图 1 - 8 - 2①,在四边形 $ ABCD $ 中,对角线 $ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ \angle A + \angle C = 180^{\circ} $.求证:$ DA = DC $.
思考:“角平分线 + 对角互补”可以通过“截长”“补短”等构造全等解决问题.
方法一:在 $ BC $ 上截取 $ BM = BA $,连接 $ DM $,得到全等三角形,进而解决问题;
方法二:延长 $ BA $ 到点 $ N $,使得 $ BN = BC $,连接 $ DN $,得到全等三角形,进而解决问题.
请结合图 1 - 8 - 2①,在方法一和方法二中

任

选

一

种

,添加辅助线并完成证明.
(2)问题解决:如图 1 - 8 - 2②,在(1)的条件下,连接 $ AC $,当 $ \angle DAC = 60^{\circ} $ 时,探究线段 $ AB $,$ BC $,$ BD $ 之间的数量关系,并说明理由.
(3)问题应用:如图 1 - 8 - 2③,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle A + \angle C = 180^{\circ} $,$ DA = DC $,过点 $ D $ 作 $ DE \perp BC $,垂足为 $ E $,请直接写出线段 $ AB $,$ CE $,$ BC $ 之间的数量关系.

答案：
$02$解$:$　　
$(1)$方法一$:$证明$:$在$BC$上截$BM = BA,$连接$DM,$如图$①.$　　
$ $　　
∵$BD$平分$∠ABC,$　　
∴$∠ABD = ∠CBD.$　　
在$△ABD$和$△MBD$中，　　
$\begin{cases}BD = BD, \\∠ABD = ∠MBD, \\BA = BM,\end{cases}$　　
∴$△ABD≌△MBD(SAS).$　　
∴$∠A = ∠BMD,AD = MD.$　　
∵$∠BMD + ∠CMD = 180°,∠C + ∠A = 180°,$　　
∴$∠C = ∠CMD.$　　
∴$DM = DC.$　　
∴$DA = DC.$　　
方法二$:$证明$:$延长$BA$到点$N,$使得$BN = BC,$连接$DN，$如图$②.$　　
$ $　　
∵$BD$平分$∠ABC,$　　
∴$∠NBD = ∠CBD.$　　
在$△NBD$和$△CBD$中，　　
$\begin{cases}BD = BD, \\∠NBD = ∠CBD, \\BN = BC,\end{cases}$　　
∴$△NBD≌△CBD(SAS).$　　
∴$∠N = ∠C,ND = CD.$　　
∵$∠NAD + ∠BAD = 180°,∠C + ∠BAD = 180°,$　　
∴$∠NAD = ∠C.$　　
∴$∠N = ∠NAD.$　　
∴$DN = DA.$　　
∴$DA = DC.$　　
$(2)AB + BC = BD.$理由如下$:$　　
延长$CB$到点$P,$使$BP = BA,$连接$AP,$如图$③.$　　
$ $　　
由　　
$(1)$可知$AD = CD,$　　
又　　
∵$∠DAC = 60°,$　　
∴$△ADC$为等边三角形$.$　　
∴$AC = AD,∠ADC = 60°.$　　
∵$∠BCD + ∠BAD = 180°,$　　
∴$∠ABC = 360°−180°−60° = 120°.$　　
∴$∠PBA = 180°−∠ABC = 60°.$　　
∵$BP = BA,$　　
∴$△ABP$为等边三角形$.$　　
∴$∠PAB = 60°,AB = AP.$　　
∵$∠DAC = 60°,$　　
∴$∠PAB + ∠BAC = ∠DAC + ∠BAC,$即$∠PAC = ∠BAD.$　　
在$△PAC$和$△BAD$中，　　
$\begin{cases}PA = BA, \\∠PAC = ∠BAD, \\AC = AD,\end{cases}$　　
∴$△PAC≌△BAD(SAS).$　　
∴$PC = BD.$　　
∵$PC = BP + BC = AB + BC,$　　
∴$AB + BC = BD.$　　
$(3)BC - AB = 2CE.$