《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 1 - 11 - 1，CD 是经过∠BCA 顶点 C 的一条直线，CA = CB，E，F 分别是直线 CD 上两点，且∠BEC = ∠CFA = α.
(1)若直线 CD 经过∠BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上.
①如图①，若∠BCA = 90°，α = 90°，求证：BE = CF；
②如图②，若 0° ＜ ∠BCA ＜ 180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由.
(2)如图③，若直线 CD 经过∠BCA 的外部，∠BCA = α，请猜想 EF，BE，AF 三条线段的数量关系，并简述理由.

答案： 0解:
(1)①证明:
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACF + ∠BCE = 90°。
∵∠BEC = ∠AFC = 90°，
∴∠ACF + ∠CAF = 90°。
∴∠BCE = ∠CAF。
∵BC = AC，
∴△BCE≌△CAF(AAS)。
∴BE = CF。
②添加α + ∠BCA = 180°，能使①中的结论仍然成立。理由如下:
∵α + ∠BCA = 180°，
∴∠BCA = 180°−α。
∵∠EBC + ∠BCE = 180°−∠BEC = 180°−α，∠BCA = ∠BCE + ∠ACF = 180°−α，
∴∠EBC = ∠ACF。
在△BCE和△CAF中，$\begin{cases} \angle CBE = \angle ACF, \\ \angle BEC = \angle CFA, \\ BC = CA, \end{cases}$
∴△BCE≌△CAF(AAS)。
∴BE = CF。
(2)EF = BE + AF。理由如下:
∵∠BCA = α，
∴∠BCE + ∠FCA = 180°−∠BCA = 180°−α。
∵∠BEC = α，
∴∠EBC + ∠BCE = 180°−∠BEC = 180°−α。
∴∠EBC = ∠FCA。
在△BEC和△CFA中，$\begin{cases} \angle EBC = \angle FCA, \\ \angle BEC = \angle CFA, \\ BC = CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CFA(AAS)。
∴BE = CF，EC = FA。
∴EF = EC + CF = FA + BE，即EF = BE + AF。