《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01
小明用四根长度相等的木条制作出能够活动的菱形学具，他将活动学具摆成如图 6 - 78 - 1①所示的菱形，并测得 $\angle ABC = 60^{\circ}$，接着再摆成如图 6 - 78 - 1②所示的正方形，并测得对角线 $AC = 20\sqrt{2}$，则图 6 - 78 - 1①中菱形的对角线 $BD$ 的长为（C）

A.$20$
B.$30$
C.$20\sqrt{3}$
D.$20\sqrt{2}$

答案： C

02
如图 6 - 78 - 2，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle C = 60^{\circ}$，$O$ 为 $BD$ 的中点，$\angle EOF = 120^{\circ}$，$\angle EOF$ 的两边分别交直线 $AD$，$AB$ 于点 $E$，$F$.
(1)如图①，当点 $E$ 在 $AD$ 上，点 $F$ 在 $AB$ 的延长线上时，试探究线段 $AE$，$BF$，$AB$ 之间的数量关系；
(2)如图②，当点 $E$，$F$ 分别在 $DA$，$AB$ 的延长线上时，试探究线段 $AE$，$BF$，$AB$ 之间的数量关系.

答案：
02解:
(1)如图①,过点O作OG//AB交AD于点G.
　　　　　　　
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,∠A=∠C=60°,∠ADC=∠ABC=120°.
∴∠ADB=∠ABD=60°.
∴△ABD是等边三角形，∠OBF=120°.
∴BD=AD=AB.
∵OG//AB，
∴∠DGO=∠A=60°,∠DOG=∠ABD=60°,∠OGE=120°,∠GOB=120°.
∴∠OGE=∠OBF,△DGO是等边三角形.
∴OG=DG=OD=$\frac{1}{2}$BD=OB=$\frac{1}{2}$AD.
∴AG=$\frac{1}{2}$AD.
∵∠GOB=∠EOF=120°,
∴∠GOE=∠BOF.
在△OEG和△OFB中，$\left\{\begin{array}{l}\angle OGE=\angle OBF,\\OG=OB,\\ \angle GOE=\angle BOF,\end{array}\right.$
∴△OEG≌△OFB(ASA).
∴GE=BF.
∴AE+BF=AE+GE=AG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，
即AE+BF=$\frac{1}{2}$AB.
(2)如图②，过点O作OM//AB交DA于点M.
　　　　　　
同
(1)可得OM=$\frac{1}{2}$AB,∠EMO=∠OBF,OM=OB,∠MOE=∠BOF，
∴△EMO≌△FBO(ASA).
∴ME=BF.
∴BF - AE=ME - AE=AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，
即BF - AE=$\frac{1}{2}$AB.