《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01
已知$$(x^{3} + ax + b)(x^{2} - 3x + 4)$$的展开式中不含$$x^{3}$$和$$x^{2}$$项，求$$-a - b$$的平方根。

答案： 解：$(x^{3}+ax + b)(x^{2}-3x + 4)$
$=x^{5}-3x^{4}+4x^{3}+ax^{3}-3ax^{2}+4ax + bx^{2}-3bx + 4b$
$=x^{5}-3x^{4}+(4 + a)x^{3}+(b - 3a)x^{2}+(4a - 3b)x + 4b$。
$\because$化简结果中不含$x^{3}$项和$x^{2}$项，
$\therefore\begin{cases}4 + a = 0,\\b - 3a = 0.\end{cases}\begin{cases}a = - 4,\\b = - 12.\end{cases}$
$\therefore - a - b = 4 + 12 = 16$。
$\therefore - a - b$的平方根是$4$和$-4$。

02
已知$$(x^{2} + mx - 3)(2x + n)$$的展开式中不含$$x^{2}$$项，常数项是$$-6$$。
(1) 求$$m$$，$$n$$的值；
(2) 求$$(m + n)(m^{2} - mn + n^{2})$$的值。

答案： 解：
(1)原式$=2x^{3}+2mx^{2}-6x + nx^{2}+mnx - 3n = 2x^{3}+(2m + n)x^{2}+(mn - 6)x - 3n$。
由于展开式中不含$x^{2}$项，常数项是$-6$，则$2m + n = 0$且$-3n = - 6$，
解得$m = - 1$，$n = 2$。
(2)由
(1)可知$m = - 1$，$n = 2$，
$\therefore$原式$=m^{3}+n^{3}=(-1)^{3}+2^{3}=-1 + 8 = 7$。

03
当$$xy ≠ 0$$时，试说明代数式$$[(x + y)(x - y) - (x + y)^{2} - 2y(x - y) - 2xy] ÷ xy$$的值与$$x$$，$$y$$的值无关。

答案： 解：$[(x + y)(x - y)-(x + y)^{2}-2y(x - y)-2xy]÷ xy$
$=(x^{2}-y^{2}-x^{2}-2xy - y^{2}-2xy + 2y^{2}-2xy)÷ xy$
$=-6xy÷ xy$
$=-6$。
当$xy\neq0$时，不论$x$，$y$为何值，代数式的值都是$-6$，
即当$xy\neq0$时，代数式$[(x + y)(x - y)-(x + y)^{2}-2y(x - y)-2xy]÷ xy$的值与$x$，$y$的值无关。