《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

03
在菱形 $ABCD$ 中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$P$ 是射线 $BD$ 上一动点，以 $AP$ 为边向右侧作等边三角形 $APE$，点 $E$ 的位置随着点 $P$ 的位置变化而变化.
(1)问题发现：如图 6 - 78 - 3①，当点 $E$ 在菱形 $ABCD$ 内部或边上时，连接 $CE$，则 $BP$ 与 $CE$ 的数量关系是BP=CE，$CE$ 与 $AD$ 的位置关系是CE⊥AD.
(2)拓展探究：如图 6 - 78 - 3②，当点 $E$ 在菱形 $ABCD$ 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
(3)解决问题：如图 6 - 78 - 3③，若 $AB = 1$，$BP = 3$，请直接写出四边形 $ACDE$ 的面积.

答案：
03解:
(1)BP=CE　CE⊥AD
(2)还成立.
证明如下:
如图，连接AC.
　　　　　　　　
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°.
∴△ABC,△ACD是等边三角形.
∴AB=AC,AC=CD,∠BAC=∠ACD=60°.
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE,∠PAE=60°.
∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC，
即∠BAP=∠CAE.
在△BAP和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC,\\ \angle BAP=\angle CAE,\\AP=AE,\end{array}\right.$
∴△BAP≌△CAE(SAS).
∴BP=CE,∠ABP=∠ACE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE=∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∴CE平分∠ACD.
∴CE⊥AD.
(3)$S_{四边形ACDE}=\frac{3}{2}$