《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 1 - 12 - 1, 在等边三角形 $ ABC $ 的两边 $ AB $, $ AC $ 所在直线上分别有点 $ M $ 和点 $ N $, $ D $ 为 $ \triangle ABC $ 外一点, 且 $ \angle MDN = 60^{\circ} $, $ \angle BDC = 120^{\circ} $, $ BD = DC $.
(1) 如图①, 当点 $ M $, $ N $ 分别在边 $ AB $, $ AC $ 上, 且 $ DM = DN $ 时, 写出 $ BM $, $ NC $, $ MN $ 之间的数量关系并说明理由.
(2) 如图②, 当点 $ M $, $ N $ 分别在边 $ AB $, $ AC $ 上, 且 $ DM \neq DN $ 时, (1) 中的结论还成立吗? 写出你的猜想并加以证明.

答案：
01解:
(1)BM+NC=MN.
理由:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵∠BDC=120°,BD=DC,
∴∠DBC=∠DCB=30°.
∴∠MBD=∠NCD=90°.
∵DM=DN,
∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL).
∴∠BDM=∠CDN=30°,BM=CN.
∴DM=2BM.
∵DM=DN,∠MDN=60°,
∴△DMN是等边三角形.
∴MN=DM=2BM=BM+CN.
(2)结论仍然成立.
证明:如图，在NC的延长线上截取CM₁=BM,连接DM₁.

由
(1)可知∠MBD=∠M₁CD=90°,BD=CD,
∴Rt△DBM≌Rt△DCM₁(HL).
∴∠BDM=∠CDM₁,DM=DM₁.
∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,
∴∠M₁DN=∠MDN=60°.
∴△MDN≌△M₁DN(SAS).
∴MN=M₁N=M₁C+NC=BM+NC.

02 已知在正方形 $ ABCD $ 中, $ \angle MAN = 45^{\circ} $, 它的两边分别交 $ CB $, $ DC $ (或它们的延长线) 于点 $ M $, $ N $.
(1) 当 $ \angle MAN $ 绕点 $ A $ 旋转到 $ BM = DN $ 时 (如图 1 - 12 - 2), 求证: $ BM + DN = MN $.
(2) 当 $ \angle MAN $ 绕点 $ A $ 旋转到 $ BM \neq DN $ 时 (如图 1 - 12 - 3), 则线段 $ BM $, $ DN $ 和 $ MN $ 之间有怎样的数量关系? 写出猜想并加以证明.
(3) 当 $ \angle MAN $ 绕点 $ A $ 旋转到如图 1 - 12 - 4 所示的位置时, 请你猜想线段 $ BM $, $ DN $ 和 $ MN $ 之间的数量关系, 并对你的猜想加以证明.

答案：
02解:
(1)证明:如图①,过点A作AE⊥MN于点E.

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠D=∠B=∠BAD=90°.
∵∠MAN=45°,
∴∠BAM+∠DAN=90°−45°=45°.
在△ABM和△ADN中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠B = ∠D, \\ BM = DN, \end{cases}$
∴△ABM≌△ADN(SAS).
∴AM=AN,∠BAM=∠DAN=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°.
∴△AMN为等腰三角形.
∵AE⊥MN,
∴∠NAE=$\frac{1}{2}$∠MAN=22.5°,MN=2EN.
∴∠DAN=∠EAN.
在△ADN和△AEN中，
$\begin{cases} ∠D = ∠AEN = 90°, \\ ∠DAN = ∠EAN, \\ AN = AN, \end{cases}$
∴△ADN≌△AEN(AAS).
∴DN=EN.
同理可得△ABM≌△AEM,
∴BM=EM.
∴ME+EN=BM+DN=MN.
(2)BM+DN=MN.
证明:如图②,延长CB至点E,使得BE=DN,连接AE.

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠D=∠ABC=90°=∠ABE.
在△ADN和△ABE中，
$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠D = ∠ABE, \\ DN = BE, \end{cases}$
∴△ADN≌△ABE(SAS).
∴∠DAN=∠BAE,AN=AE.
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°.
∵∠MAN=45°,
∴∠EAM=∠MAN=45°.
在△EAM和△NAM中，
$\begin{cases} AE = AN, \\ ∠EAM = ∠NAM, \\ AM = AM, \end{cases}$
∴△EAM≌△NAM(SAS).
∴ME=MN.
∵ME=BM+BE=BM+DN,
∴BM+DN=MN.
(3)DN−BM=MN.
证明:如图③，在DC上截取DE=BM,连接AE.

在△ADE和△ABM中，
$\begin{cases} DE = BM, \\ ∠D = ∠ABM, \\ AD = AB, \end{cases}$
∴△ADE≌△ABM(SAS).
∴∠DAE=∠BAM,AE=AM.
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°.
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=∠MAN=45°.
在△MAN和△EAN中，
$\begin{cases} AM = AE, \\ ∠MAN = ∠EAN, \\ AN = AN, \end{cases}$
∴△MAN≌△EAN(SAS).
∴MN=EN.
∴DN−DE=EN=MN.
∴DN−BM=MN.