《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

03 如图 6 - 74 - 3①，在锐角三角形 ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M，N 分别是线段 BC，DE 的中点，连接 MN。
(1) 求证：MN⊥DE。
(2) 如图 6 - 74 - 3②，连接 MD，猜想∠A 与∠DMN 之间的关系，并证明你的猜想。
(3) 如图 6 - 74 - 3③，当∠BAC 变为钝角时，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由。

答案：
03解:
(1)证明:如图①,连接MD,ME.
　　　　　　　
∵CD,BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°.
∵M是BC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC,ME=$\frac{1}{2}$BC.
∴DM=ME.
又
∵N为DE的中点，
∴MN⊥DE.
(2)∠A=90°−∠DMN.
理由如下:如图②，连接EM.
　　　　　　　
由
(1)可知MN⊥DE,DM=ME,
∴∠DME=2∠DMN.
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°−∠A.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BDM=∠DBM,∠MEC=∠ECM.
∴∠BMD+∠CME=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)
=360°−2(∠ABC+∠ACB)
=360°−2(180°−∠A)
=2∠A.
∴2∠A+2∠DMN=180°,
即∠A=90°−∠DMN.
(3)
(1)中结论成立，
(2)中结论不成立.
理由如下:如图③，连接EM.
　　　　　　　
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC
=2(180°−∠BAC)
=360°−2∠BAC.
∴360°−2∠BAC+2∠DMN=180°,
即∠BAC=∠DMN+90°.