《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以用来解决计算线段长的有关问题，这种方法称为等面积法.如图 2 - 17 - 1，在△ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，AH = 12，P 为底边 BC 上的任意一点，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为 M，N，连接 AP，利用“等面积法”求 PM + PN 的值.

答案： 01 解：$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$，
$\therefore\frac{1}{2}BC· AH=\frac{1}{2}AB· PM+\frac{1}{2}AC· PN$．
$\because\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13× PM+\frac{1}{2}×13× PN$．
$\therefore PM + PN=\frac{120}{13}$．

02 如图 2 - 17 - 2，已知在△ABC 中，AB = AC，BM⊥AC 于点 M，点 D 在直线 BC 上，DE⊥AB，垂足为 E，DF⊥AC，垂足为 F.
(1)如图①，点 D 在边 BC 上时，小明同学利用三角形全等知识和图形等面积法两种方法发现了 DE，DF，BM 三条线段之间的数量关系，请直接写出三条线段之间的数量关系：DE + DF = BM.
(2)如图②、图③，当点 D 在点 B 左边或者在点 C 右边的直线上时，问题(1)中 DE，DF，BM 三条线段之间的数量关系是否还成立？若成立，请选择一个图形进行证明；若不成立，请在图②或图③中选择一个图形，写出这三条线段新的数量关系，并进行证明.

答案：
02 解：
(1)$DE + DF = BM$
(2)不成立.证明：连接$AD$.
当点$D$在点$B$左边的直线上时，如图①.
$\because S_{\triangle ACD}-S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}$，
$\therefore\frac{1}{2}AC· DF-\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· BM$.
$\because AB = AC$，$\therefore DF - DE = BM$.

当点$D$在点$C$右边的直线上时，如图②.
$\because S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}$，
$\therefore\frac{1}{2}AB· DE-\frac{1}{2}AC· DF=\frac{1}{2}AC· BM$.
$\because AB = AC$，$\therefore DE - DF = BM$.