《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图2 - 26 - 1，等边三角形ABC的边长为10，P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC = 1：2，过点P作PE⊥AC于点E，连PQ交AC边于点D，求DE的长。

答案：
01解:如图,过点P作PF//BC交AC于点F.

∵等边三角形ABC的边长为10，P是边AB的中点，
CQ:BC=1:2,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=∠A=60°.
∴AP=CQ.
∵PF//BC,
∴∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°.
∴△APF是等边三角形.
∵AP=CQ,
∴PF=CQ.
∵PE⊥AC,
∴EF=$\frac{1}{2}$AF.
∵PF//BC,
∴∠Q=∠FPD.
在△PDF和△QDC中，
$\begin{cases} ∠FPD=∠Q, \\ ∠FDP=∠CDQ, \\ PF=QC, \end{cases}$
∴△PDF≌△QDC(AAS).
∴DF=DC.
∴DF=$\frac{1}{2}$CF.
∴DE=EF+DF=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$AC.
∴DE=5.

02 如图2 - 26 - 2，在△ABC中，AB = AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC = ∠E = 60°。若BE = 30 cm，DE = 2 cm，求BC的长。

答案：
02解:如图,延长ED交BC于点M,延长AD交BC 于点N,作DF//BC,交BE于点F.

∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN.
∵∠EBC=∠E=60°,
∴△BEM为等边三角形.
∵DF//BC,
∴△EFD为等边三角形.
∵BE=30cm,DE=2cm,
∴DM=28cm.
∵△BEM为等边三角形,
∴∠EMB=60°.
∵AN⊥BC,
∴∠DNM=90°.
∴∠NDM=30°.
∴NM=$\frac{1}{2}$DM=14cm.
∴BN=30−14=16(cm).
∴BC=2BN=32cm.

03 如图2 - 26 - 3，在等边三角形ABC中，E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC = ED。
（1）如图①，若E是AB的中点，求证：BD = AE。
（2）如图②，若E不是AB的中点，（1）中的结论“BD = AE”是否仍然成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明。

答案：
03解:
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB,AE=BE.
∴∠BCE=30°.
∵ED=EC,
∴∠D=∠BCE=30°.
∵∠ABC=∠D+∠BED,
∴∠BED=60°−30°=30°.
∴∠D=∠BED.
∴BD=BE.
∴BD=AE.
(2)成立.
证明:如图，过点E作EF//BC交AC于点F.

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC.
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°.
∴△AEF是等边三角形.
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD.
∴∠BED=∠ECF.
在△DEB和△ECF中，
$\begin{cases} ∠DEB=∠ECF, \\ ∠DBE=∠EFC, \\ DE=EC, \end{cases}$
∴△DEB≌△ECF(AAS).
∴DB=EF.
∴BD=AE.