《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 6 - 74 - 1，在△ABC 中，∠B = 30°，∠ACB = 45°，AD 是 BC 边上的高线，CE 是 AB 边上的中线。
(1) 求证：AE = CD；
(2) 求∠ACE 的度数。

答案：
01解:
(1)证明:如图,连接DE.
　　　　　　　　
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵∠B=30°,∠ACB=45°,
∴∠BAD=90°−∠B=60°,∠DAC=90°−∠ACD=45°.
∴∠DAC=∠ACD=45°.
∴AD=CD.
∵CE是AB边上的中线，
∴BE=AE.
又
∵∠ADB=90°,
∴BE=DE=AE=$\frac{1}{2}$AB.
∴△AED是等边三角形.
∴AD=AE.
∴AE=CD.
(2)
∵DE=EB,
∴∠B=∠EDB=30°.
∴∠DEC+∠DCE=30°.
∵DE=AD,AD=CD,
∴DE=DC.
∴∠DEC=∠DCE=15°.
∴∠ACE=∠ACD−∠DCE=30°,
即∠ACE的度数为30°.

02 如图 6 - 74 - 2，在四边形 ABCD 中，∠BAD = 90°，∠DCB = 90°，E，F 分别是 BD，AC 的中点。
(1) 请你猜测 EF 与 AC 的位置关系，并给予证明；
(2) 当 AC = 8，BD = 10 时，求 EF 的长。

答案：
02解:
(1)EF⊥AC.
证明:如图，连接AE,CE.

∵∠BAD=90°,∠DCB=90°,E为BD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BD,CE=$\frac{1}{2}$BD.
∴AE=CE.
∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC.
(2)
∵AC=8,BD=10,E,F分别是BD,AC的中点，
∴AE=CE=5,CF=4.
∵EF⊥AC,
∴EF=$\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.