《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 1 - 14 - 1，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，BE 平分∠ABC，CE⊥BE。求证：BD = 2CE。

答案：
01 证明:如图,延长BA交CE的延长线于点F.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE = ∠FBE.
∵CE⊥BE，
∴∠BEC = ∠BEF = 90°.
在△BCE和△BFE中，
$\begin{cases} ∠CBE = ∠FBE, \\ BE = BE, \\ ∠BEC = ∠BEF = 90°, \end{cases}$
∴△BCE≌△BFE(ASA).
∴CE = EF.
∵∠BAC = 90°,CE⊥BE，
∴∠ABD + ∠ADB = 90°,∠CDE + ∠FCA = 90°.
又
∵∠ADB = ∠CDE，
∴∠FCA = ∠ABD.
在△ACF和△ABD中，
$\begin{cases} ∠ACF = ∠ABD, \\ AC = AB, \\ ∠FAC = ∠DAB = 90°, \end{cases}$
∴△ACF≌△ABD(ASA).
∴CF = BD.
∵CF = CE + EF = 2CE，
∴BD = 2CE.

02 如图 1 - 14 - 2①，A 是直线 MN 上一点，B 是直线 PQ 上一点，且 MN//PQ。∠NAB 和∠ABQ 的平分线交于点 C。
(1)求证：BC⊥AC。
(2)过点 C 作直线交 MN 于 D（不与点 A 重合），交 PQ 于点 E。
①若点 D 在点 A 的右侧，如图 1 - 14 - 2②，求证：AD + BE = AB。
②若点 D 在点 A 的左侧，则线段 AD，BE，AB 之间有何数量关系？直接写出结论，不用说明理由。

答案：
02 解:
(1)证明:
∵MN//PQ，
∴∠NAB + ∠ABQ = 180°.
∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ，
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠NAB,∠CBA = $\frac{1}{2}$∠ABQ.
∴∠BAC + ∠ABC = $\frac{1}{2}$×180° = 90°.
∴∠C = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 90° = 90°.
∴BC⊥AC.
(2)①证明:如图，延长AC交PQ于点F.
∵BC⊥AC，
∴∠ACB = ∠FCB = 90°.
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC = ∠FBC.
又
∵BC = BC，
∴△ABC≌△FBC(ASA).
∴AC = FC,AB = FB.
∵MN//PQ，
∴∠DAC = ∠EFC.
∵∠ACD = ∠FCE，
∴△ACD≌△FCE(ASA).
∴AD = EF.
∴AB = BF = BE + EF = BE + AD，即AD + BE = AB.

②AD + AB = BE.