《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

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如图1-6-3，直线$MN$与直线$PQ$垂直相交于点$O$，点$A$，$B$分别在射线$OP$，$OM$上运动（点$A$，$B$均不与点$O$重合）.
(1) 如图①，若$\angle BAO = 30°$，$\angle BAO$与$\angle ABO$的平分线相交于点$E$，则$\angle AEB$的度数为135°.
(2) 如图②，$\angle BAP$与$\angle ABM$的平分线相交于点$E$，在点$A$，$B$的运动过程中，$\angle AEB$的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.
(3) 如图③，若$\angle MOQ ＜ 90°$，$\angle BAO$与$\angle BOQ$的平分线相交于点$E$，延长$BA$至点$G$，$\angle OAG$的平分线与$EO$的延长线相交于点$F$，在点$A$，$B$的运动过程中，试探索$\angle F$与$\angle ABO$之间的等量关系，并证明你的结论.

答案：

(1)135°
(2)不会发生变化.
∵∠BAP与∠ABM的平分线相交于点E，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠PAB,∠EBA=$\frac{1}{2}$∠MBA.
∵MN⊥PQ,
∴∠AOB=90°.
∵∠PAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO,∠MBA=∠AOB+∠BAO=90°+∠BAO,
∴∠EAB+∠EBA=$\frac{1}{2}$(90°+∠ABO+90°+∠BAO)=90°+$\frac{1}{2}$(∠ABO+∠BAO).
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠EAB+∠EBA=90°+45°=135°.
∴∠AEB=180°−135°=45°.
(3)$\frac{1}{2}$∠ABO+∠F=90°.证明:如图.

∵∠BAO与∠BOQ的平分线相交于点E，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAO,∠2=$\frac{1}{2}$∠BOQ.
由三角形的外角的性质可得∠ABO=∠BOQ−∠BAO=2∠2−2∠1,∠E=∠2−∠1,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ABO.
∵AE平分∠BAO,AF平分∠GAO,∠BAO+∠GAO=180°,
∴∠EAF=90°.
∴∠E+∠F=90°,即$\frac{1}{2}$∠ABO+∠F=90°.