《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 3 - 33 - 1，边长为 6 的正方形 $ABCD$ 中放置有两个长和宽分别为 $a,b(a ＜ 6,b ＜ 6)$ 的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，求图中阴影部分 $S_{1}+S_{2}+S_{3}$ 的面积.

答案： 01 解：由题意知，$a + b = 16 ÷ 2 = 8$，$ab = 15.75$，
$\therefore (a + b)^2 = 64$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 64$。
$\therefore a^2 + b^2 = 64 - 2ab = 64 - 2 × 15.75 = 32.5$，$a + b = 8$。
$\because S_1 = (6 - b)^2$，$S_3 = (6 - a)^2$，$S_2 = [b - (6 - a)]^2 = (a + b - 6)^2$，
$\therefore$阴影部分面积为$S_1 + S_2 + S_3 = (6 - b)^2 + (6 - a)^2 + (a + b - 6)^2$
$= a^2 + b^2 - 12(b + a) + 76$
$= 32.5 - 12 × 8 + 76$
$= 12.5$。

02 将 4 张长为 $a$、宽为 $b(a ＞ b)$ 的长方形纸片，按如图 3 - 33 - 2 所示的方式拼成一个边长为 $(a + b)$ 的正方形，图中空白部分的面积为 $m$，阴影部分的面积为 $n$。若 $m = 3n$，求 $a,b$ 满足的关系式.

答案： 02 解：$m = \frac{1}{2}b(a + b) · 2 + \frac{1}{2}ab · 2 + (a - b)^2 = a^2 + 2b^2$，$n = (a + b)^2 - m = (a + b)^2 - (a^2 + 2b^2) = 2ab - b^2$。
$\because m = 3n$，
$\therefore a^2 + 2b^2 = 3(2ab - b^2)$。
整理，得$a^2 - 6ab + 5b^2 = 0$。
$\therefore (a - b)(a - 5b) = 0$。
$\therefore a = b$或$a = 5b$。
$\because a ＞ b$，
$\therefore a = 5b$。

03 如图 3 - 33 - 3，图①中有两个正方形 $A,B$，现将 $B$ 放在 $A$ 的内部得图②。将 $A,B$ 并列放置后，构造新的正方形得图③。若图②和图③中阴影部分的面积分别为 1 和 12，求 $A,B$ 两个正方形的面积之和.

答案： 03 解：设正方形$A$的边长为$a$，正方形$B$的边长为$b$。
由题意，得$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1$，$(a + b)^2 - (a^2 + b^2) = 2ab = 12$，
$\therefore a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 1 + 12 = 13$。
答：$A$，$B$两个正方形的面积之和为$13$。