《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01
如图 2 - 20 - 1，在△ABC 中，D 为边 AC 上一点，且 BD 平分∠ABC，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E。若∠ABC = 52°，∠C = 32°，AB = 5.2，BC = 9.8，求 AE 的长。

答案：
01解:如图,延长AE交BC于点F.

∵BD平分∠ABC,
∴∠ABE=∠FBE.
在△ABE和△FBE中，
\begin{cases}
∠AEB = ∠FEB = 90^{\circ}, \\
BE = BE, \\
∠ABE = ∠FBE,
\end{cases}
∴△ABE≌△FBE(ASA).
∴AE=EF,AB=BF=5.2.
∴∠BAF=∠BFA=$\frac{1}{2}$×(180°−52°)=64°.
∵∠C=32°,
∴∠CAF=∠BFA−∠C=32°.
∴∠CAF=∠C.
∴AF=CF.
∵BC=9.8,
∴CF=BC−BF=4.6.
∴AF=4.6.
∴AE=$\frac{1}{2}$AF=2.3.

02
下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：

任务：
(1)上述解答过程中的“依据 *”是指全等三角形的面积相等。
(2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整。
(3)如图 2 - 20 - 3，在△ABC 中，∠ABC = 3∠C，AD 平分∠BAC，BE⊥AD 于点 E。求证：BE = $\frac{1}{2}$(AC - AB)。

答案：
$02$解$:$　　
$(1)$全等三角形的面积相等　　
$(2)$延长$CD$交$AB$于点$E.$　　
∵$AD$平分$∠BAC,$　　
∴$∠DAB=∠DAC.$　　
∵$AD⊥CD,$　　
∴$∠ADC=∠ADE=90°.$　　
在$△ADE$和$△ADC$中，　　
$\begin{cases}∠DAE = ∠DAC, \\AD = AD, \\∠ADE = ∠ADC,\end{cases} $　　
∴$△ADE≌△ADC(ASA).$　　
∴$ED=DC,S_{△ADE}=S_{△ADC}($全等三角形的面积相等$).$　　
∴$S_{△BDE}=S_{△BDC}($等底同高的两个三角形面积相等$).$　　
∴$S_{阴影部分}=S_{△ADE}+S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ACE}+\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}(S_{△ACE}+S_{△BCE})=\frac{1}{2}S_{△ABC}=5.$　　
$(3)$证明$:$如图，延长$BE$交$AC$于点$F.$　　

∵$BF⊥AD,$　　
∴$∠AEB=∠AEF=90°.$　　
∵$AD$平分$∠BAC,$　　
∴$∠BAE=∠FAE.$　　
在$△ABE$和$△AFE$中，　　
$\begin{cases}∠AEB = ∠AEF, \\AE = AE, \\∠BAE = ∠FAE,\end{cases} $　　
∴$△ABE≌△AFE(ASA).$　　
∴$∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=EF.$　　
∵$∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,$　　
∴$∠C+2∠CBF=3∠C.$　　
∴$∠CBF=∠C.$　　
∴$BF=CF.$　　
∴$BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF.$　　
∵$CF=AC−AF=AC−AB,$　　
∴$BE=\frac{1}{2}(AC−AB).$