《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 2-21-1,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 36^{\circ}$,$CD$是$\angle ACB$的平分线,交$AB$于点$D$.
(1)求$\angle ADC$的度数.
(2)过点$A$作$AE// BC$,交$CD$的延长线于点$E$,试问$\triangle ADE$是等腰三角形吗? 请说明理由.

答案： 01 解：
(1)
∵AB = AC,∠BAC = 36°,$\therefore \angle B = \angle ACB = \frac {1}{2}(180^{\circ} - \angle BAC) = 72^{\circ}$。
∵CD 是∠ACB 的平分线，$\therefore \angle DCB = \frac {1}{2}\angle ACB = 36^{\circ}$。
∴∠ADC = ∠B + ∠DCB = 72° + 36° = 108°。
(2)△ADE 是等腰三角形。
理由：
∵AE//BC,
∴∠EAD = ∠B = 72°。
∵∠ADC = 108°,
∴∠ADE = 180° - 108° = 72°。
∴∠EAD = ∠ADE。
∴AE = DE。
∴△ADE 是等腰三角形。

02 课堂上,老师给出一道数学题:如图 2-21-2①所示,点$D$在$AB$上,点$E$在$AC$的延长线上,且$BD = CE$,连接$DE$交$BC$于点$F$.若$F$是$DE$的中点,求证:$AB = AC$.
小明的思路:过点$D$作$DG// AE$,交$BC$于点$G$,如图 2-21-2②;
小丽的思路:过点$E$作$EH// AB$,交$BC$的延长线于点$H$,如图 2-21-2③.
请在小明和小丽的思路中任选一种完成该题的证明过程.

答案： 02 证明：小明的思路：
∵DG//AE，
∴∠DGF = ∠ECF,∠GDF = ∠E。
∵F 是 DE 的中点，
∴DF = EF。
在△DFG 和△EFC 中，
$\begin{cases} \angle DGF = \angle ECF, \\ \angle GDF = \angle E, \\ DF = EF, \end{cases}$
∴△DFG≌△EFC(AAS)。
∴DG = EC。
∵BD = CE,
∴BD = DG。
∴∠B = ∠DGB。
∵DG//AE,
∴∠DGB = ∠ACB。
∴∠B = ∠ACB。
∴AB = AC。
小丽的思路：
∵EH//AB,
∴∠B = ∠H。
在△BDF 和△HEF 中，
$\begin{cases} \angle DFB = \angle EFH, \\ \angle B = \angle H, \\ DF = EF, \end{cases}$
∴△BDF≌△HEF(AAS)。
∴BD = EH。
∵BD = CE,
∴CE = EH。
∴∠H = ∠HCE。
∵∠H = ∠B,∠HCE = ∠ACB,
∴∠B = ∠ACB。
∴AB = AC。