《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 1 - 10 - 1①，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$.
(1)如图 1 - 10 - 1①，直线$NM$过点$B$，$AM\perp MN$于点$M$，$CN\perp MN$于点$N$，且$\angle ABC = 90^{\circ}$. 求证：$MN = AM + CN$.
(2)直线$NM$过点$B$，$AM\perp MN$于点$M$，$CN\perp MN$于点$N$.
①如图 1 - 10 - 1②，若$BM = CN$，试猜想线段$AB$与$BC$的位置关系，并证明你的结论；
②若将$\triangle ABM$沿$MN$的方向平移至图 1 - 10 - 1③的情形，$AB_{1}$与$BC$交点为$O$，其余条件不变，试判断线段$AB_{1}$与$BC$的位置关系，并说明理由.

答案： 01解:
(1)证明:
∵AM⊥MN,CN⊥MN,
∴∠AMB=∠BNC=90°.
∴∠MAB + ∠ABM = 90°.
∵∠ABC = 90°,
∴∠ABM + ∠NBC = 90°.
∴∠MAB = ∠NBC.
在△ABM和△BCN中，
$\begin{cases}∠AMB = ∠BNC,\\∠MAB = ∠NBC,\\AB = BC,\end{cases}$
∴△ABM≌△BCN(AAS).
∴AM = BN，BM = CN.
∴MN = BN + BM = AM + CN.
(2)①AB⊥BC.
证明:
∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB = ∠BNC = 90°.
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
$\begin{cases}AB = BC,\\BM = CN,\end{cases}$
∴Rt△ABM≌Rt△BCN(HL).
∴∠BAM = ∠CBN.
∵∠AMB = 90°,
∴∠BAM + ∠ABM = 90°.
∴∠ABM + ∠CBN = 90°.
∴∠ABC = 180° - (∠ABM + ∠CBN) = 90°.
∴AB⊥BC.
②AB₁⊥BC.
理由：
∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB₁ = ∠BNC = 90°.
在Rt△AB₁M和Rt△BCN中，
$\begin{cases}AB_1 = BC,\\B_1M = CN,\end{cases}$
∴Rt△AB₁M≌Rt△BCN(HL).
∴∠A = ∠CBN.
∵∠A + ∠AB₁M = 90°,
∴∠AB₁M + ∠CBN = 90°.
∴∠BOB₁ = 180° - (∠AB₁M + ∠CBN) = 90°.
∴AB₁⊥BC.

02 在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$D$为直线$AB$上一点，作直线$CD$，且有$AE\perp CD$于点$E$，$BF\perp CD$于点$F$.
(1)若点$D$在线段$AB$上，如图 1 - 10 - 2，试猜想线段$EF$，$AE$和$BF$之间的数量关系，并证明；
(2)若点$D$在线段$AB$的延长线上，请你根据题意先画出图形，再猜想线段$EF$，$AE$和$BF$之间的数量关系，并证明.

答案：
02解:
(1)EF = AE - BF.
证明:
∵AE⊥CD，
∴∠AEC = 90°.
∴∠ACE + ∠CAE = 90°.
∵∠ACE + ∠BCF = 90°,
∴∠CAE = ∠BCF.
∵BF⊥CD，∠AEC = ∠BFC = 90°.
在△ACE与△CBF中，
$\begin{cases}∠AEC = ∠CFB,\\∠CAE = ∠BCF,\\AC = CB,\end{cases}$
∴△ACE≌△CBF(AAS).
∴AE = CF，CE = BF.
∵CF = EF + EC，
∴AE = EF + BF，即EF = AE - BF.
(2)画出图形如下:

EF = AE + BF.证明:
∵AE⊥CD，∠AEC = 90°.
∴∠ACE + ∠CAE = 90°.
∵∠ACB = 90°,
∴∠ACE + ∠BCF = 90°.
∴∠CAE = ∠BCF.
∵BF⊥CD，
∴∠AEC = ∠CFB = 90°.
在△ACE与△CBF中，
$\begin{cases}∠AEC = ∠CFB,\\∠CAE = ∠BCF,\\AC = CB,\end{cases}$
∴△ACE≌△CBF(AAS).
∴AE = CF，CE = BF.
∴EF = CF + CE = AE + BF.